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设$a,b,c,k$均为正整数,二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$有两个实根 $x_1​, x_2$且$−\dfrac{1}{k}<x_1<x_2<0$,求$a+b+c$的最小值.

解:根据条件可知
\begin{cases}
\Delta=b^2-4ac>0,\\
-\dfrac{b}{2a}>-\dfrac{1}{k},\\
f\left(-\dfrac{1}{k}\right)=\dfrac{a}{k^2}-\dfrac{b}{k}+c>0,\\
f(0)=c>0,
\end{cases}

\begin{cases}
b^2>4ac,(1)\\
a>\dfrac{bk}{2},(2)\\
a>bk-ck^2,(3)\\
c\ge 1,(4)
\end{cases}
由$(1)(2)$知$b^2>4ac>2bck$,则$b \ge 2ck+1$,
再由$(3)$知$a>bk-ck^2 \ge ck^2+k$,则$a \ge ck^2+k+1$,
显然要使$a+b+c$取最小值,则$c$取1,
故$a \ge k^2+k+1$,
再由$(1)$知$b^2>4a \ge 4k^2+4k+4$,
因为$(2k+1)^2<4k^2+4k+4<(2k+2)^2$,则$b \ge 2k+2$,
再由$(3)$知$a>bk-k^2 \ge k^2+2k$,则$a \ge k^2+2k+1$,
再由$(1)$知$b^2>4a \ge 4k^2+8k+4=(2k+2)^2$,则$b \ge 2k+3$,
再由$(3)$知$a>bk-k^2 \ge k^2+3k$,则$a \ge k^2+3k+1$,
此时由$(1)$可得$b^2>4ac \ge 4k^2+12k+4$,
因为$b^2=(2k+3)^2>4k^2+12k+4$,故$b=2k+3$满足$(1)$,
检验$a=k^2+3k+1,b=2k+3,c=1$满足$(1)(2)(3)(4)$,
所以$a+b+c$的最小值为$k^2+5k+5$.

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