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[不等式] 来自人教群前几天的又玩整系数二次函数最值

鄂L爱好者求学(1448******) 18:19:00
QQ截图20141123172450.jpg
2014-11-23 19:34

kk,这个14题你会怎么解啊

题目:已知 $a$, $b$, $c$ 为正整数,关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个不相等的实数根,且两根均大于 $-1/2$,则 $a+b+c$ 的最小值为?

当时没想到好的解法,虽然线性规划勉强可以,但依靠画图神马的我还是不喜欢,刚才没事又再想,终于想到比较像样的代数解法。

解:由 $a$, $b$, $c$ 为正可知两根都必为负,故不妨设两根为 $x_1$, $x_2$ 且 $-1/2<x_1<x_2<0$,令 $f(x)=ax^2+bx+c$,则必有
\[f\left( -\frac12 \right)>0,\]
故由 $a$, $b$, $c$ 为整数有
\[f\left( -\frac12 \right)=\frac{a-2b+4c}4
\in\left\{\frac14,\frac24,\frac34,\ldots\right\}, \quad (*) \]
所以
\[f\left( -\frac12 \right)\geqslant \frac14,\]
由于 $f(x)$ 可以写成 $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$,且 $f(0)=c\geqslant 1$,于是由均值有
\begin{align*}
\frac14&\leqslant f(0)f(0)f\left( -\frac12 \right) \\
& =a(-x_1)(-x_2)\cdot a(-x_1)(-x_2)\cdot a\left( -\frac12-x_1 \right)\left( -\frac12-x_2 \right) \\
& =\frac{a^3}4\cdot (-x_1)(-x_1)(1+2x_1)\cdot (-x_2)(-x_2)(1+2x_2) \\
& \leqslant \frac{a^3}4\cdot \left( \frac13 \right)^3\cdot \left( \frac13 \right)^3 \\
& =\frac14\left( \frac a9 \right)^3,
\end{align*}
由 $x_1\ne x_2$ 可知上式取不了等号,故得到 $a\geqslant 10$。

假设 $a=10$,代入上面有
\[f\left( -\frac12 \right)<\frac1{4f(0)f(0)}\left( \frac{10}9 \right)^3\leqslant \frac14\left( \frac{10}9 \right)^3<\frac12,\]
故再由 (*) 知 $f(-1/2)=1/4$,即 $a-2b+4c=1$,此时左边为偶数右边为奇数,矛盾!所以必有 $a\geqslant 11$。

那么由柯西不等式得
\begin{align*}
a+b+c&=f(1) \\
& =a\bigl(1+(-x_1)\bigr)\bigl(1+(-x_2)\bigr) \\
& \geqslant a\bigl(1+\sqrt{x_1x_2}\bigr)^2 \\
& =\bigl(\sqrt a+\sqrt{f(0)}\bigr)^2 \\
& \geqslant \bigl(\sqrt{11}+1\bigr)^2 \\
& =12+2\sqrt{11} \\
& >18,
\end{align*}
所以
\[a+b+c\geqslant 19,\]
最后举一个例子,方程 $11x^2+7x+1=0$ 的两根为
\[x=\frac{-7\pm\sqrt5}{22}>\frac{-7-3}{22}>-\frac12,\]
满足题意且 $a+b+c=19$,故所求的最小值就是 $19$。
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题目:已知 $a$, $b$, $c$ 为正整数,关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个不相等的实数根,且两根均大于 ...
kuing 发表于 2014-11-23 19:36



这么复杂啊。

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追求代数解法(具有严谨性、抽象性),是一个很好的梦想,这个梦想一定会实现!

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解题群里说c最小时,和最小,不知道能不能LU出来漂亮的解法

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回复 4# goft

理由哩?

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回复 5# kuing

被他们忽悠了,他们也是猜想……

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回复 7# Tesla35

这些贴我自然也撸过,不过1#的题比它们又难一个数量级……

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回复 9# 乌贼

这贴是我当年第一次玩这种题,用的是最笨的方法……

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本帖最后由 乌贼 于 2015-5-23 23:40 编辑

我到现在还不会这方法

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  1. 11x 2 +7x+1=0 这个例子怎么来的,这样的例子唯一吗?
复制代码

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回复 12# hjfmhh

$a+b+c$取最小值时这例子是唯一的。

如果 $a\geqslant12$,那么代入柯西那一步的式子中得到
\[a+b+c\geqslant \bigl(\sqrt{12}+1\bigr)^2>19,\]
所以当 $a+b+c$ 取最小值 $19$ 时只能 $a=11$。

将 $a=11$ 代入均值那一步里得到
\[\frac14\leqslant f(0)f(0)f\left(-\frac12\right)\leqslant\frac14\left(\frac{11}9\right)^3<\frac12,\]
由于 $f(0)\inN^+$, $f(-1/2)\in\{1/4,2/4,3/4,\ldots\}$,所以只能 $f(0)=1$, $f(-1/2)=1/4$,解得 $b=7$, $c=1$。
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本帖最后由 活着&存在 于 2015-5-28 15:08 编辑

未命名.JPG
2015-5-28 15:08

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@活着&存在  第三行为什么要分奇偶?奇数情况下右边1/2怎么来的
@kuing 谢谢 您的解法我看懂了

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第三行和第四行有关系?能麻烦解释一下。个人觉得您说的c增大,则a不能减小,这句话好像有点问题

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本帖最后由 活着&存在 于 2015-5-28 15:19 编辑

回复 16# hjfmhh


    已补充说明,讨论只是说明a不等于10。不能减小的说法是不对的,原来的意思是a不能比11小。

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回复 17# 活着&存在


    谢谢您,看懂您的意思了

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刚刚 585 又发来一道,和这题实际上就差一个数字:
QQ截图20181211162319.jpg
2018-12-11 16:24


自然还是照搬上面的解法咯,由于过程大致相同,所以有些地方就略写好了。

不妨设 `-1/3<x_1<x_2<0`,由均值有
\[\bigl(f(0)\bigr)^3f\left( -\frac13 \right)=\frac{a^4}9(-x_1)^3(1+3x_1)(-x_2)^3(1+3x_2)\leqslant\frac19\left( \frac a{16} \right)^4,\]
因 `x_1\ne x_2` 取不了等且 `f(0)=c\geqslant1`,故由上式得
\[f\left( -\frac13 \right)<\frac19\left( \frac a{16} \right)^4, \quad(*)\]
另一方面由 `f(-1/3)>0` 得
\[f\left( -\frac13 \right)=\frac{a-3b+9c}9\in\left\{ \frac19,\frac29,\frac39,\ldots\right\}, \quad(**)\]
得 `f(-1/3)\geqslant1/9`,故由式 (*) 得 `a\geqslant17`。

假如 `a=17` 或 `18`,又由式 (*) 得
\[f\left( -\frac13 \right)<\frac19\left( \frac{18}{16} \right)^4<\frac29,\]
故又由式 (**) 知 `f(-1/3)=1/9 \iff a-3b+9c=1 \iff a-1=3(b-3c)`,显然 `a=17` 或 `18` 都不符合,因此 `a\geqslant19`。

然后同样地柯西
\[a+b+c=a\bigl(1+(-x_1)\bigr)\bigl(1+(-x_2)\bigr)\geqslant\bigl(\sqrt a+\sqrt{f(0)}\bigr)^2\geqslant\bigl(\sqrt{19}+1\bigr)^2>28,\]
所以 `a+b+c\geqslant29`。

最后举个栗子:`19x^2+9x+1=0` 满足条件且 `a+b+c=29`,所以所求最小值就是 `29`。
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回复 19# kuing

又像是实如竞赛题,不知有没有特殊解法。

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