[数论] 一道关于有理数的多元方程

longzaifei

是否存在互不相等的有理数$x,y,x$,满足 \[ \dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+  \dfrac{1}{(z-x)^2}=2014   \]

realnumber

$9^2+13^2+42^2=2014$
可以令$x-y=1/9.....$,解出x,y,z.

longzaifei

这组没有解！！但是还是不能说不存在。

tommywong

$1\le a_1\le a_2\le a_3 \le 44,a_1^2+a_2^2+a_3^2=2014$：
3 18 41
3 22 39
5 15 42
5 30 33
9 13 42
13 18 39
14 27 33
18 27 31
21 22 33
都不是

realnumber

回复 3# longzaifei


    我错了，还以为有解呢，再想想

kuing

注意到
\[\sum\frac1{(x-y)^2}=\left( \sum\frac1{x-y} \right)^2-2\sum\frac1{(x-y)(y-z)}=\left( \sum\frac1{x-y} \right)^2,\]
故原方程等价于
\[\frac1{x-y}+\frac1{y-z}+\frac1{z-x}=\pm\sqrt{2014},\]
左边有理右边无理，显然不可能成立。

其妙

回复 6# kuing
这个恒等式这么妙呀！
好像一个什么条件不等式的证明，
就是通过一个恒等式（配方）就立刻证明出来了！

Tesla35

我记得渣k之前在某个地方提到过这个等式。

kuing

随便吧，反正这道题就不是考数论，纯粹就是那个恒等式……

longzaifei

谢谢

其妙

回复  kuing
这个恒等式这么妙呀！
好像一个什么条件不等式的证明，
就是通过一个恒等式（配方）就立刻证 ...
其妙 发表于 2014-11-17 23:15

好像配方后，变成$(?+?+?-1)^2+1\geqslant1$立刻可得证明。