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[数论] 目测kk不会求打脸

设$r$是至少为$1$的实数。证明对于任意正整数$m,k$, $[kmr]/[mr]$是整数的充分必要条件是$r$也是整数
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本帖最后由 战巡 于 2014-10-16 15:48 编辑

回复 1# 琉璃幻


这个也不难吧,目测某k也能想出来
$r$为整数时显然$\frac{[kmr]}{[mr]}$为整数,就不废话了

当$\frac{[kmr]}{[mr]}=p\in N^+$时,$mr=[mr]+\{mr\}$,有:
\[k[mr]+[k\{mr\}]=p[mr]\]
\[k+\frac{[k\{mr\}]}{[mr]}=p\]
因为要对任意$k$成立,而当$mr\ge 2$时,若$\{mr\}\ne 0$,必然可以找到一个$k$使得$[k\{mr\}]=1, k+\frac{[k\{mr\}]}{[mr]}$不为整数,也就不对了
所以当$mr\ge 2$时一定有$mr \in N^+$,而加上$m$的任意性,只能是$r\in N^+$

于是当$mr<2$时又当如何?
根本无所谓,反正$m$任取,对任意给定的$r$总能找到$m$使得$mr\ge 2$,所以$r$必须为正整数

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回复 2# 战巡

这样就打不到脸咯

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