来自某教师群的经典追踪问题

湛江-农垦-小徐(8080**) 2014-10-7 9:52:34

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2014-10-7 17:00

这个是经典问题了，以前也看到过解法，不过不太记得了，闲着就自己玩一下吧，希望没弄错。

QQ截图20141007170354.jpg

$\newcommand\arcsinh{\text{arcsinh}}$
记船 $A$, $B$ 的速度分别为 $v_A$, $v_B$，$\abs{AB}=a$，建立坐标系，使得初始状态时 $A(-a,0)$, $B(0,0)$，设经过时间 $t$ 后 $A$ 移动到 $(x,y)$，此时 $B$ 移动到 $(0,v_Bt)$，如上图所示，则有
\[
\led
\left( \frac{\rmd x}{\rmd t} \right)^2+\left( \frac{\rmd y}{\rmd t} \right)^2&=v_A^2, \\
\frac{\rmd y}{\rmd x}&=\frac{v_Bt-y}{0-x},
\endled
\]
即
\[
\led
\left( v_A\frac{\rmd t}{\rmd x} \right)^2&=1+\left( \frac{\rmd y}{\rmd x} \right)^2, \\
t&=\frac1{v_B}\left( -x\frac{\rmd y}{\rmd x}+y \right),
\endled
\]
消去 $t$，由
\[\frac{\rmd t}{\rmd x}=\frac1{v_B}\left( -\frac{\rmd y}{\rmd x}-x\frac{\rmd{^2y}}{\rmd{x^2}}+\frac{\rmd y}{\rmd x} \right)=-\frac x{v_B}\cdot \frac{\rmd{^2y}}{\rmd{x^2}},\]
代入得
\[\left( \frac{v_Ax}{v_B}\cdot\frac{\rmd{^2y}}{\rmd{x^2}} \right)^2=1+\left( \frac{\rmd y}{\rmd x} \right)^2,\]
注意到 $v_A$ 的方向是逆时针变化的，故应有 ${\rmd{^2y}/\rmd{x^2}}>0$，而 $x<0$，故上式两边开方为
\[\frac{v_Ax}{v_B}\cdot\frac{\rmd{^2y}}{\rmd{x^2}}=-\sqrt{1+\left( \frac{\rmd y}{\rmd x} \right)^2},\]
设所求的轨迹方程为 $y=f(x)$，记 $g=f'(x)$，则上式为
\[\frac{v_Ax}{v_B}\cdot \frac{\rmd g}{\rmd x}=-\sqrt{1+g^2},\]
即
\[\frac{\rmd g}{\sqrt{1+g^2}}=-\frac{v_B}{v_A}\cdot\frac{\rmd x}x,\]
两边积分并注意到 $x<0$，得
\[\arcsinh(g)=-\frac{v_B}{v_A}\ln(-x)+C_1,\]
由 $f'(-a)=0$，即当 $x=-a$ 时 $g=0$，得
\[C_1=\frac{v_B}{v_A}\ln a,\]
故
\[\arcsinh(g)=\frac{v_B}{v_A}\ln\frac a{-x},\]
为方便书写，记 $v_B/v_A=\lambda$，则
\[g=\sinh\left( \lambda\ln\frac a{-x} \right)=\sinh\left( \ln\left( \frac a{-x} \right)^\lambda \right)=\frac12\left( \left( \frac a{-x} \right)^\lambda-\left( \frac{-x}a \right)^\lambda \right)=\frac{a^\lambda}2(-x)^{-\lambda}-\frac{a^{-\lambda}}2(-x)^\lambda,\]
即
\[f'(x)=\frac{a^\lambda}2(-x)^{-\lambda}-\frac{a^{-\lambda}}2(-x)^\lambda.\]

（1）当 $\lambda\ne 1$ 时，积分得
\[f(x)=-\frac{a^\lambda}2\cdot \frac{(-x)^{-\lambda+1}}{-\lambda +1}+\frac{a^{-\lambda}}2\cdot \frac{(-x)^{\lambda+1}}{\lambda+1}+C_2,\]
由 $f(-a)=0$ 得
\[C_2=\frac{a^\lambda}2\cdot \frac{a^{-\lambda+1}}{-\lambda +1}-\frac{a^{-\lambda}}2\cdot \frac{a^{\lambda+1}}{\lambda+1}=\frac a{2(-\lambda+1)}-\frac a{2(\lambda+1)}=\frac{a\lambda}{1-\lambda^2},\]
所以
\[f(x)=-\frac{a^\lambda}2\cdot \frac{(-x)^{-\lambda+1}}{-\lambda +1}+\frac{a^{-\lambda}}2\cdot \frac{(-x)^{\lambda+1}}{\lambda +1}+\frac{a\lambda}{1-\lambda^2};\]

（2）当 $\lambda=1$ 时，即
\[f'(x)=-\frac a{2x}+\frac x{2a},\]
积分得
\[f(x)=-\frac a2\ln(-x)+\frac{x^2}{4a}+C_3,\]
由 $f(-a)=0$ 得
\[C_3=\frac a2\ln a-\frac a4,\]
所以
\[f(x)=-\frac a2\ln\frac{-x}a+\frac{x^2-a^2}{4a}.\]

综合（1）（2），我们得到
\[y=f(x)=
\led
&{-}\frac{a^\lambda}2\cdot \frac{(-x)^{-\lambda+1}}{-\lambda +1}+\frac{a^{-\lambda}}2\cdot \frac{(-x)^{\lambda+1}}{\lambda +1}+\frac{a\lambda}{1-\lambda^2}, && \lambda\ne 1, \\
&{-}\frac a2\ln\frac{-x}a+\frac{x^2-a^2}{4a}, && \lambda=1.
\endled
\]

由此可见，当 $\lambda<1$，即 $v_A>v_B$ 时，必定能追到，追到时的位置是
\[\left(0,\frac{a\lambda}{1-\lambda^2}\right),\]
所以用时为
\[T=\frac{a\lambda}{v_B(1-\lambda^2)}=\frac{av_A}{v_A^2-v_B^2},\]
当 $\lambda\geqslant 1$，即 $v_A\leqslant v_B$ 时，必定追不到。