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来自某教师群的经典追踪问题

湛江-农垦-小徐(8080**) 2014-10-7 9:52:34
QQ图片20141007170021.jpg
2014-10-7 17:00

这个是经典问题了,以前也看到过解法,不过不太记得了,闲着就自己玩一下吧,希望没弄错。

QQ截图20141007170354.jpg
2014-10-7 17:04

\(\newcommand\arcsinh{\text{arcsinh}}\)
记船 $A$, $B$ 的速度分别为 $v_A$, $v_B$,$\abs{AB}=a$,建立坐标系,使得初始状态时 $A(-a,0)$, $B(0,0)$,设经过时间 $t$ 后 $A$ 移动到 $(x,y)$,此时 $B$ 移动到 $(0,v_Bt)$,如上图所示,则有
\[
\led
\left( \frac{\rmd x}{\rmd t} \right)^2+\left( \frac{\rmd y}{\rmd t} \right)^2&=v_A^2, \\
\frac{\rmd y}{\rmd x}&=\frac{v_Bt-y}{0-x},
\endled
\]

\[
\led
\left( v_A\frac{\rmd t}{\rmd x} \right)^2&=1+\left( \frac{\rmd y}{\rmd x} \right)^2, \\
t&=\frac1{v_B}\left( -x\frac{\rmd y}{\rmd x}+y \right),
\endled
\]
消去 $t$,由
\[\frac{\rmd t}{\rmd x}=\frac1{v_B}\left( -\frac{\rmd y}{\rmd x}-x\frac{\rmd{^2y}}{\rmd{x^2}}+\frac{\rmd y}{\rmd x} \right)=-\frac x{v_B}\cdot \frac{\rmd{^2y}}{\rmd{x^2}},\]
代入得
\[\left( \frac{v_Ax}{v_B}\cdot\frac{\rmd{^2y}}{\rmd{x^2}} \right)^2=1+\left( \frac{\rmd y}{\rmd x} \right)^2,\]
注意到 $v_A$ 的方向是逆时针变化的,故应有 ${\rmd{^2y}/\rmd{x^2}}>0$,而 $x<0$,故上式两边开方为
\[\frac{v_Ax}{v_B}\cdot\frac{\rmd{^2y}}{\rmd{x^2}}=-\sqrt{1+\left( \frac{\rmd y}{\rmd x} \right)^2},\]
设所求的轨迹方程为 $y=f(x)$,记 $g=f'(x)$,则上式为
\[\frac{v_Ax}{v_B}\cdot \frac{\rmd g}{\rmd x}=-\sqrt{1+g^2},\]

\[\frac{\rmd g}{\sqrt{1+g^2}}=-\frac{v_B}{v_A}\cdot\frac{\rmd x}x,\]
两边积分并注意到 $x<0$,得
\[\arcsinh(g)=-\frac{v_B}{v_A}\ln(-x)+C_1,\]
由 $f'(-a)=0$,即当 $x=-a$ 时 $g=0$,得
\[C_1=\frac{v_B}{v_A}\ln a,\]

\[\arcsinh(g)=\frac{v_B}{v_A}\ln\frac a{-x},\]
为方便书写,记 $v_B/v_A=\lambda$,则
\[g=\sinh\left( \lambda\ln\frac a{-x} \right)=\sinh\left( \ln\left( \frac a{-x} \right)^\lambda \right)=\frac12\left( \left( \frac a{-x} \right)^\lambda-\left( \frac{-x}a \right)^\lambda \right)=\frac{a^\lambda}2(-x)^{-\lambda}-\frac{a^{-\lambda}}2(-x)^\lambda,\]

\[f'(x)=\frac{a^\lambda}2(-x)^{-\lambda}-\frac{a^{-\lambda}}2(-x)^\lambda.\]

(1)当 $\lambda\ne 1$ 时,积分得
\[f(x)=-\frac{a^\lambda}2\cdot \frac{(-x)^{-\lambda+1}}{-\lambda +1}+\frac{a^{-\lambda}}2\cdot \frac{(-x)^{\lambda+1}}{\lambda+1}+C_2,\]
由 $f(-a)=0$ 得
\[C_2=\frac{a^\lambda}2\cdot \frac{a^{-\lambda+1}}{-\lambda +1}-\frac{a^{-\lambda}}2\cdot \frac{a^{\lambda+1}}{\lambda+1}=\frac a{2(-\lambda+1)}-\frac a{2(\lambda+1)}=\frac{a\lambda}{1-\lambda^2},\]
所以
\[f(x)=-\frac{a^\lambda}2\cdot \frac{(-x)^{-\lambda+1}}{-\lambda +1}+\frac{a^{-\lambda}}2\cdot \frac{(-x)^{\lambda+1}}{\lambda +1}+\frac{a\lambda}{1-\lambda^2};\]

(2)当 $\lambda=1$ 时,即
\[f'(x)=-\frac a{2x}+\frac x{2a},\]
积分得
\[f(x)=-\frac a2\ln(-x)+\frac{x^2}{4a}+C_3,\]
由 $f(-a)=0$ 得
\[C_3=\frac a2\ln a-\frac a4,\]
所以
\[f(x)=-\frac a2\ln\frac{-x}a+\frac{x^2-a^2}{4a}.\]

综合(1)(2),我们得到
\[y=f(x)=
\led
&{-}\frac{a^\lambda}2\cdot \frac{(-x)^{-\lambda+1}}{-\lambda +1}+\frac{a^{-\lambda}}2\cdot \frac{(-x)^{\lambda+1}}{\lambda +1}+\frac{a\lambda}{1-\lambda^2}, && \lambda\ne 1,  \\
&{-}\frac a2\ln\frac{-x}a+\frac{x^2-a^2}{4a}, && \lambda=1.
\endled
\]

由此可见,当 $\lambda<1$,即 $v_A>v_B$ 时,必定能追到,追到时的位置是
\[\left(0,\frac{a\lambda}{1-\lambda^2}\right),\]
所以用时为
\[T=\frac{a\lambda}{v_B(1-\lambda^2)}=\frac{av_A}{v_A^2-v_B^2},\]
当 $\lambda\geqslant 1$,即 $v_A\leqslant v_B$ 时,必定追不到。
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冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

想起了“四狗追逐”问题中的等角螺线

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回复 2# 第一章

这个当年我也玩过,数学憋间里也发了

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