本帖最后由 乌贼 于 2014-10-18 23:53 编辑
回复 9# 乌贼
这样眼不花
题目:$\triangle ABC$中,$\angle BAC=100^\circ,\angle ABD=\angle DBC$,点$D$在$AC$上,$AD+DB=BC$。求证$AB=AC$。
证明:延长$AD$至$E$,使$AD=DE$,连接$AE,CE$,分别作$\triangle ABE,\triangle EBC$的外接圆$O_1,O_2$,延长$AC$交圆$O_2$于$N$,连接$BN,EN$,易知四边形$ABNE$为等腰梯形,有$AE//BN$。
在圆$O_2$优弧$BN$上取一点$M$,使$BM=AN$,连接$BM、NM、AM、EM$。其中$AM、EM$分别交$BN$于点$F、P$,$EM$交圆$O_1$于点$Q$,连接$BQ、FQ$。
令\[\angle ABD=2\angle a\]有
\[\angle BQP=\angle BCE=\angle BFA=90^\circ-\angle a\]有$B、F、Q、M$四点共圆,所以\[\angle PBQ=\angle FMQ=2\angle a\]
又$AN=BM$有四边形$ABMN$为等腰梯形,有\[\angle ANM=100^\circ\riff\angle AEM=100^\circ\riff\angle BPQ=100^\circ(AE//BP)\]
$\triangle BPQ$中有\[\angle PBQ+\angle PQB=2\angle a+90^\circ-\angle a=100^\circ\riff\angle a=10^\circ\riff\angle ABC=40^\circ\]
尼玛 \[\angle BFA=100^\circ-2\angle a\]这样还证明不了 |