[几何] 这样的六边形内接于圆，确定圆的半径

isee

一个六边形内接于圆，它的三条连续边的边长为$a$，另三个连续边的边长为$b$，试确定该圆的半径。

kuing

\[6\arcsin\frac a{2R}+6\arcsin\frac b{2R}=2\pi\]

tommywong

你是哪12个角？我弄到的是$\displaystyle 6arccos\frac{a}{2R}+6arccos\frac{b}{2R}=4\pi$

kuing

回复 3# tommywong

显然两等式是等价的

tommywong

找到了，在中间

isee

回复 2# kuing


    怎么把R解出来？

kuing

回复 6# isee

利用 http://kkkkuingggg.haotui.com/thread-212-1-5.html 里的公式应该就可以了，吃个饭回来再写……

isee

回复 7# kuing


    是了，以前你写过，我路过

kuing

根据那个贴的公式：如果 $\abs{\arcsin x + \arcsin y}\leqslant \pi/2$，则
\[\arcsin x + \arcsin y = \arcsin\bigl(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\bigr),\]
因为
\[\arcsin\frac a{2R}+\arcsin\frac b{2R}=\frac\pi3,\]
所以
\begin{gather*}
\arcsin\left(\frac a{2R}\sqrt{1-\frac{b^2}{4R^2}}+\frac b{2R}\sqrt{1-\frac{a^2}{4R^2}}\right)=\frac\pi3,\\
\frac a{2R}\sqrt{1-\frac{b^2}{4R^2}}+\frac b{2R}\sqrt{1-\frac{a^2}{4R^2}}=\frac{\sqrt3}2,\\
a\sqrt{4R^2-b^2}+b\sqrt{4R^2-a^2}=2\sqrt3R^2,\\
a^2(4R^2-b^2)+b^2(4R^2-a^2)+2ab\sqrt{(4R^2-b^2)(4R^2-a^2)}=12R^4,\\
ab\sqrt{(4R^2-b^2)(4R^2-a^2)}=6R^4-2R^2(a^2+b^2)+a^2b^2,\\
a^2b^2(4R^2-b^2)(4R^2-a^2)=\bigl(6R^4-2R^2(a^2+b^2)+a^2b^2\bigr)^2,\\
4R^4(a^2-ab+b^2-3R^2)(a^2+ab+b^2-3R^2)=0,\\
R=\sqrt{\frac{a^2\pm ab+b^2}3},
\end{gather*}
咦，怎么会有两个解……

kuing

噢，知道了，减的可以排除。

假设 $R=\sqrt{(a^2-ab+b^2)/3}$，不妨设 $a\geqslant b$，则 $R\leqslant a/\sqrt3$，那么
\[6\arcsin\frac a{2R}
\geqslant 6\arcsin\frac{\sqrt3}2=2\pi,\]
矛盾。

Tesla35

回复 10# kuing

次奥。一直觉得维基百科以及各种数学词典是种蛋疼的东西。

isee

回复 10# kuing

最后的结果：\[R=\sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}3}\]完全正确，反三角函数立功了。

不过，期待一下平几解法。

kuing

回复 12# isee

嗯，平几也简单，注意到六条边按如下图的两种连接方式所得到的外接圆大小是相同的。

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2014-9-19 00:23

于是，下图的等边三角形的边长为 $\sqrt{a^2+ab+b^2}$，故外接圆半径就为 $\sqrt{(a^2+ab+b^2)/3}$。

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2014-9-19 00:20

乌贼

$AD,BC$所对应的角为$60^\circ$，两彩色三角形为等边三角形，$BC=\sqrt3R$，
$\triangle ABC$中由余弦定理得：$(a+b)^2+a^2-3R^2=2\cos60^\circ (a+b)a\riff R=\sqrt{\dfrac{a^2+ab+b^2}{3}}$

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2014-9-19 00:59

kuing

回复 14# 乌贼

这个也不错

kuing

顺便提一下，其实10楼被排除的 $R=\sqrt{(a^2-ab+b^2)/3}$ 也有着对应的图形，如下图

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2014-9-19 01:34

其几何证明也可以类似我上面的方法，换一种接法，如下图

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2014-9-19 01:35

不过，话说回来，楼主似乎也没说六边形是凸的，那么这种情况也算不算一个解？
可见，楼主的题目最好加个凸字，要么就直接给出图形。