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[数论] 1000000!尾部共有多少个零

$1000000!$尾部共有多少个零?
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取决于 5 的个数,$\sum_{k=1}^{\infty} [100000/5^k]$

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回复 2# kuing

其实这里想表达就是:这个公式怎样证明呢?

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$n=5^k m \rightarrow f(n)=k$

$\displaystyle \sum_{n=1}^x f(n)=\sum_{n=1}^{[\frac{x}{5}]} f(5n)=[\frac{x}{5}]+\sum_{n=1}^{[\frac{x}{5}]} f(n)=[\frac{x}{5}]+[\frac{1}{5}[\frac{x}{5}]]+[\frac{1}{5}[\frac{1}{5}[\frac{x}{5}]]]+...$

$\displaystyle [\frac{1}{5}[5 \times \frac{x}{25}]]=[\frac{x}{25}]$

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回复 3# isee

由于在 $1$, $2$, \ldots, $n$ 中,有 $[n/p]$ 个是 $p$ 的倍数,
所以,$[100000/5]$ 计算了 $1$, $2$, \ldots, $100000$ 中 $5$ 的倍数各一次;
$[100000/5^2]$ 计算了 $1$, $2$, \ldots, $100000$ 中 $5^2$ 的倍数各一次;
……
$[100000/5^k]$ 计算了 $1$, $2$, \ldots, $100000$ 中 $5^k$ 的倍数各一次;
……
故此,对于因数里共有 $m$ 个 $5$ 的数,在 $\sum_{k=1}^{\infty} [100000/5^k]$ 里共被算 $m$ 次,所以 $\sum_{k=1}^{\infty} [100000/5^k]$ 就是 $100000!$ 的因数里 $5$ 的总数。

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回复 5# kuing

这意思可以用以下图形来作直观理解:

QQ截图20140906152215.gif
2014-9-6 15:22


PS、上图的tikz代码如下:
  1. \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
  2. \draw[red,->] (0,1) -- +(23,0) node[right] {$[100000/5]$};
  3. \foreach \i in {2,3,...,7} {
  4. \draw[red,->] (0,\i) -- +(23,0) node[right] {$[100000/5^\i]$};
  5. }
  6. \foreach \i in {5,10,...,55} {\node at (\i/5,0) {$\i$};}
  7. \node at (12.5,0) {$\cdots$};
  8. \node at (14,0) {$120$};
  9. \node at (15,0) {$125$};
  10. \node at (16,0) {$130$};
  11. \node at (17.5,0) {$\cdots$};
  12. \node at (19,0) {$78125$};
  13. \node at (20.5,0) {$\cdots$};
  14. \node at (22,0) {$100000$};
  15. \foreach \i in {1,2,...,11,14,15,16}
  16. {\fill[blue] (\i,1) circle (5pt);}
  17. \foreach \i in {5,10,15} {\fill[blue] (\i,2) circle (5pt);}
  18. \fill[blue] (15,3) circle (5pt);
  19. \foreach \i in {1,2,...,7} {\fill[blue] (19,\i) circle (5pt);}
  20. \foreach \i in {1,2,...,5} {\fill[blue] (22,\i) circle (5pt);}
  21. \end{tikzpicture}
复制代码
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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看不懂

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已经尽力了……
楼主哩?

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捕获.PNG
2014-9-8 07:00


for i=1:5
        for j=5^i:5^i:10000
        plot(j,i,'.','markersize',20);hold on;
        end
end
现充已死,エロ当立。
维基用户页:https://zh.wikipedia.org/wiki/User:Tttfffkkk/
Notable algebra methods:https://artofproblemsolving.com/community/c728438
《方幂和及其推广和式》 数学学习与研究2016.

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捕获.PNG
2014-9-8 07:41




subplot(1,3,1);
plot([0 0],[0 9],'.','markersize',1);hold on;
for x=1:1000
        for y=1:8
        if(mod(x,5^y)==0)
                plot(x,y,'.','markersize',20);hold on;
        end
        end
end
subplot(1,3,2);
plot([5^8-500 5^8-500],[0 9],'.','markersize',1);hold on;
for x=5^8-500:5^8+500
        for y=1:8
        if(mod(x,5^y)==0)
                plot(x,y,'.','markersize',20);hold on;
        end
        end
end
subplot(1,3,3);
plot([999000,999000],[0,9],'.','markersize',1);hold on;
for x=999000:1000000
        for y=1:8
        if(mod(x,5^y)==0)
                plot(x,y,'.','markersize',20);hold on;
        end
        end
end
现充已死,エロ当立。
维基用户页:https://zh.wikipedia.org/wiki/User:Tttfffkkk/
Notable algebra methods:https://artofproblemsolving.com/community/c728438
《方幂和及其推广和式》 数学学习与研究2016.

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才发现,原来我一直看漏了一个 0

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一头雾水

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