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[不等式] min{max{1/a,1/b,a^2+b^2}}与max{min{}}的区别?

本帖最后由 realnumber 于 2014-9-4 08:03 编辑

a,b是正数,求min{max{1/a,1/b,$a^2+b^2$}}.
a,b是正数,求max{min{1/a,1/b,$a^2+b^2$}}.
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这种题目其实最好不要这样表达,因为你同一个式子中 min 和 max 的意思不一样,一个是最值,一个是取元素
I am majia of kuing

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QQ抄过来的,没考虑过你说的问题。

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题目可以这样写:
设 $a$, $b$ 是正数。
(1)求 $\max\{1/a,1/b,a^2+b^2\}$ 的最小值;
(2)求 $\min\{1/a,1/b,a^2+b^2\}$ 的最大值。


(1)设 $M=\max\{1/a,1/b,a^2+b^2\}$,则 $M^3\geqslant (a^2+b^2)/(ab)\geqslant 2\riff M\geqslant\sqrt[3]{2}$,当 $a=b=1/\sqrt[3]{2}$ 时取等;

(2)由对称性不妨设 $a\leqslant b$,则 $\min\{1/a,1/b,a^2+b^2\}=\min\{1/b,a^2+b^2\}$,设 $m=\min\{1/b,a^2+b^2\}$,则 $m^3\leqslant (a^2+b^2)/b^2\leqslant 2\riff m\leqslant\sqrt[3]{2}$,当 $a=b=1/\sqrt[3]{2}$ 时取等。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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1和你一样,
2的解法,本来打算用调整法的。

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回复 5# realnumber

(1)好像是课本上的题,或者类似

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f(x),g(x),是x>0的增函数,h(x,y),k(x,y)对于给定正数x(或y),是y(或x)的增函数.
(假定f,g,h,k四个函数值域为R+,我不太肯定哪些必要,哪些多余)
那么求min{f(x),g(x),h(1/x,1/y)}的最大值。应该就是1楼1的类型。
用调整法可以得到在f(x)=g(x)=h(1/x,1/y)处取到最值。似乎2也类似。

如果修改为那么求min{f(x),g(x),h(1/x,1/y),k(1/x,1/y)}的最大值。情况似乎复杂了。

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还是具体写个题目吧,乱编没注意凑不凑好,数据不好,自己修改
a,b是正数,求max{1/a,1/b,$2a^2+3b^2,4a^2+2b^2$}的最小值.

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