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[数论] 求最大最小最小公倍数

$n>4,a_1,a_2,...,a_n$均不超过2n的自然数,证明$min_{i \neq j} [a_i,a_j] \le 6([\frac {n}{2}]+1)$。这里$[a_i,a_j]$表示$a_i,a_j$的最小公倍数。

题目稍为混乱,以下解释:

n=2时,自然数有1,2,3,4,每一组有2个数,最小最小公倍数为最小公倍数,当中最大的是[3,4]=12。

n=3时,自然数有1,2,3,4,5,6,每一组有3个数,考虑4,5,6这一组,最小最小公倍数为[4,6]=12。

n=4时,自然数有1,2,3,4,5,6,7,8,每一组有4个数,考虑5,6,7,8这一组,最小最小公倍数为[6,8]=24。

n=5时,考虑6,7,8,9,10这一组,最小最小公倍数为[6,9]=18。

n=6时,考虑7,8,9,10,11,12这一组,最小最小公倍数为[8,12]=24。

n=7时,考虑8,9,10,11,12,13,14这一组,最小最小公倍数为[8,12]=24。

n=8时,考虑9,10,11,12,13,14,15,16这一组,最小最小公倍数为[10,15]=30。
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现充已死,エロ当立。
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《方幂和及其推广和式》 数学学习与研究2016.

本帖最后由 tommywong 于 2014-8-1 16:00 编辑

n+1,n+2,...,2n是n个连续数,有因数1,2,...,n
假如在{n+1,n+2,...,2n}把一个数x换成{1,2,...,n}中的数y
若x为y的倍数,$min_{i \neq j} [a_i,a_j]$的值更少
(在{6,7,8,9,10}把6换成{1,2,3,4,5}中的3)
若x与y互质,且z为y的倍数,$[a_i,y] \le [a_i,z],[y,z]=z$
(在{6,7,8,9,10}把6换成{1,2,3,4,5}中的5,$[a_i,5] \le [a_i,10],[5,10]=10$)
{n+1,n+2,...,2n}的最小最小公倍数最大

{n+1,n+2,...,2n}弄不出[x,x]=x、[x,2x]=2x、[x,3x]=3x、[2x,4x]=4x、[x,5x]=5x
考虑最小的[2x,3x]=6x,可从{n+1,n+2,...,2n}挑出最小的偶数$2([\frac{n}{2}]+1)$,
若$3([\frac{n}{2}]+1) \le 2n$,即{n+1,n+2,...,2n}中存在$3([\frac{n}{2}]+1)$
$3([\frac{n}{2}]+1)<\frac{3n}{2}+3 \le 2n \rightarrow n \ge 6$,$n=5$时$9 \le 10$

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谢谢!

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回复 2# tommywong
请老师最好把[2x,3x]=6x  最小 证明一下,虽然根据老师的证明,学生也直觉能想到,但总感觉有失严密。特此请教老师。

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工作簿1.rar (6.56 KB)
把<6x的公倍数都排除,后发现与不小于6的数字的的公倍数大于等于6,最后就留一个【2,3】=6

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补上这个

$\displaystyle [k_1([\frac{n}{k_1}]+1),k_2([\frac{n}{k_1}]+1)]=k_1k_2([\frac{n}{k_1}]+1) \ge k_2 n>3n+6 \rightarrow n>\frac{6}{k_2-3}$

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