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[数论] 一个整除问题

1.jpg
2014-7-9 22:30
(代码还是不会写,只能传图片了)
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……这代码有多难写啊?
上标就是 ^
属于就是 \in
于是这样写就行了:
已知 \$x,y \in N^+\$,且 \$x^2+y^2-x\$ 能被 \$2xy\$ 整除,求证:\$x\$ 为完全平方数。

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本帖最后由 tommywong 于 2018-4-11 18:20 编辑

$x^2+y^2-x \equiv 0 (mod 2xy)$

$x^2+y^2-x \equiv 0 (mod xy)$

$y^2 \equiv 0 (mod x)$

假设$x$不是平方数,则$y$必含因子$x$(←错),设$y=kx$

$x^2+k^2x^2-x \equiv 0 (mod kx^2)$

$-x \equiv 0 (mod x^2)$不成立,与假设矛盾

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$x^2+y^2-x \equiv 0 (\mod{\kern4pt} 2xy)$

$x^2+y^2-x \equiv 0 (\mod{\kern4pt} xy)$

$y^2 \equiv 0 (\mod{\kern4pt} x)$

假设$x$不是平 ...
tommywong 发表于 2014-7-10 11:31
这样写效果怎样?

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回复 4# 其妙

x^2+y^2-x \equiv 0 \pmod{2xy} gives $x^2+y^2-x \equiv 0 \pmod{2xy}$
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 5# kuing

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3楼错了,重新来过

$2xy|x^2+y^2-x$

$x=\prod_i p_i^{2k_i}\prod_j p_j^{2k_j+1},(p_i,p_j)=1$

需证$\forall j,p_j=1$,使得$x=\prod_i p_i^{2k_i}=(\prod_i p_i^{k_i})^2$为平方数

$x|y^2\Rightarrow p_j^{2k_j+1}|y^2\Rightarrow p_j^{k_j+1}|y$

$p_i^{2k_i}|y^2\Rightarrow p_i^{k_i}|y$

设$y=q\prod_i p_i^{k_i}\prod_j p_j^{k_j+1}$

$2y|x+q^2\prod_j p_j-1$

$\forall j,p_j|1\Rightarrow p_j=1$

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以下字母都是正整数
设(x,y)=m,那么x=ma,y=mb,(a,b)=1
问题即为$2m^2ab\mid m^2a^2+m^2b^2-ma$
即$2mab\mid ma^2+mb^2-a$,得出$a\mid m$,$m\mid a$
得到m=a
所以$x=a^2$,又x=1,y=2说明有解.

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