免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

来自人教群昨晚的“椭圆运动”

教师——颉忞(2706*****) 19:22:22
物体做椭圆运动的受力是指向2焦点吗?
有清楚这个问题的,请指点
教师樰椛(4160****) 19:23:46
你指的是行星吗?
教师——颉忞(2706*****) 19:24:02
是的
爱好者-Tesla35(3705*****) 19:24:02
那要看焦点有没有物体吧
教师-渔舟(2571****) 19:24:15
这似乎是个物理题
教师——颉忞(2706*****) 19:24:18

是啊
爱好者-Tesla35(3705*****) 19:24:24
是因为恒星吸引他
教师——颉忞(2706*****) 19:24:32
和同事讨论到了这个问题
教师-渔舟(2571****) 19:24:42
我记得是因为万有引力啊
教师——颉忞(2706*****) 19:25:06
哦 若仅有一个焦点有物体,还是椭圆运动吗?

……

昨晚聊这段的时候我在煮饭,回来才看到。
留意到这句“若仅有一个焦点有物体,还是椭圆运动吗?”
话说难道他认为行星做椭圆运动是因为椭圆两焦点都有星体吸引它?只有一个焦点有物体反而就不一定了?

好吧,我又无聊,推导一下好了呗。

QQ截图20130923200303.gif
2013-9-23 20:01


如图所示,有两星体,质量分别为 $m$, $M$,$m\ll M$ 且不考虑其他星球对他们的影响(这样 $M$ 可以看作是固定的),某一刻,$m$ 与 $M$ 的距离为 $mM=r_0$,$m$ 的速度大小为 $v_0$,且速度方向与垂直于 $mM$ 的方向成 $\alpha$ 角。设经过一段时间后,$m$ 到达 $m'$ 的位置,速度大小变为 $v$,且对 $M$ 的角速度为 $\omega$,$m'M=r$,$\angle m'Mm=\theta$。

设 $r$ 关于 $\theta$ 的函数为 $r=r(\theta)$,记 $r'=\rmd r/\rmd\theta$,则有
\[v=\frac{\sqrt{(\rmd r)^2+(r\rmd\theta)^2}}{\rmd t}=\frac{\rmd\theta}{\rmd t}\sqrt{\left( \frac{\rmd r}{\rmd\theta} \right)^2+r^2}=\omega \sqrt{r'^2+r^2},\]

\[v^2=\omega^2(r'^2+r^2),\]
由角动量守恒,有
\[mr^2\omega=mv_0r_0\cos\alpha,\]
由机械能守恒,有
\[\frac12mv^2-\frac{GMm}r=\frac12mv_0^2-\frac{GMm}{r_0},\]
以上三式消去 $v$ 和 $\omega$ 得到
\[\frac12m\left( \frac{v_0r_0\cos\alpha}{r^2} \right)^2(r'^2+r^2)-\frac{GMm}r=\frac12mv_0^2-\frac{GMm}{r_0},\]
化简整理得
\[r'^2=\frac{v_0^2r_0-2GM}{r_0(v_0r_0\cos\alpha)^2}r^4 +\frac{2GM}{(v_0r_0\cos\alpha)^2}r^3-r^2,\]
记 $p=\frac{v_0^2r_0-2GM}{r_0(v_0r_0\cos\alpha)^2}$, $q=\frac{2GM}{(v_0r_0\cos\alpha)^2}$,若 $r$ 正在递增,则上式开方得
\[\frac{\rmd r}{\rmd\theta}=r'=r\sqrt{pr^2+qr-1},\]

\[\rmd\theta=\frac1{r\sqrt{pr^2+qr-1}}\rmd r,\]
令 $x=1/r$,上式两边积分得
\begin{align*}
\theta &=\int{\frac1{r\sqrt{pr^2+qr-1}}\rmd r} \\
& =\int{\frac x{\sqrt{p/x^2+q/x-1}}\rmd{\frac1x}} \\
& =-\int{\frac1{\sqrt{p+qx-x^2}}\rmd x} \\
& =-\int{\frac1{\sqrt{p+q^2/4-(x-q/2)^2}}\rmd{\left( x-\frac q2 \right)}} \\
& =-\arcsin \frac{x-q/2}{\sqrt{p+q^2/4}}+C \\
& =-\arcsin \frac{1/r-q/2}{\sqrt{p+q^2/4}}+C,
\end{align*}

\[\arcsin \frac{1/r-q/2}{\sqrt{p+q^2/4}}=C-\theta,\]
两边正弦并整理得
\[\frac1r=\sqrt{p+\frac{q^2}4}\sin(C-\theta)+\frac q2,\]
这跟圆锥曲线的极坐标方程一致,$r$ 递减时也类似。

这里的常数 $C$ 可以确定下来,但是懒得写了。
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

真漂亮。。可惜我目前还看不懂...

TOP

牛人!这属于大学物理的范畴吧?

TOP

圆锥曲线极坐标方程

汗,要赶紧练内功去

TOP

本帖最后由 战巡 于 2013-10-13 09:10 编辑

回复 1# kuing

这什么玩意.......
题目本身就没看懂,按照我的理解,椭圆运动只是物体沿着椭圆轨道运动而已,至于是什么样的力导致它做这样的运动,其速率如何变化等都无关紧要...
于是,行星轨道只是其中一种,其他情况复杂得多

好吧,如果你们想研究双星系统下的行星轨道,我劝你们别折腾了,典型的三体问题,牛顿、拉格朗日、庞加莱那一大帮人都试过,全挂了,你们自己掂量掂量自己几斤几两...

TOP

回复 5# 战巡

提问人说得不清楚,但是大概也知道他想表达的意思,估计他也不会指太复杂的东西,所以我推导的是最简单的情形,复杂的我也知道我没那能耐……
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

TOP

精彩。角动量是竞赛(高中)的东西。敢问Kuing大哥看的什么书以至如此博学?

TOP

……博个啥学……物理我就会点皮毛……角动量的东东我是在普通的大学物理教材里学来的……

TOP

回复 8# kuing
,大学普通物理没有选学,
这贴快逢一周年了!

TOP

返回列表 回复 发帖