命题加四个字,修改为:大于等于n+1个质量为正整数的砝码总质量为2n,按质量降序从左到右排列,开始天平两端平衡,从最左边依次取砝码放在天平较轻的一端,若天平平衡则放任意一端,求证最后天平仍平衡.
证明:容易得最轻的砝码质量为1,并设除1以外最轻的质量为a,可得至少有a个质量为1的砝码.
n=1,2时,显然.
假设n≤k时,命题成立.
当n=k+1时,若a为偶数,暂时去掉a,此时有k个砝码,总质量为2M=2k+2-a,符合归纳假设,
那么可以按要求分成两部分依次放置在天平上,此时最上方分别有s,t个质量为1的砝码,
不妨设0≤s≤t,(自然a≤s+t),除掉1以外的砝码质量为M-s,M-t,(显然M-s≥M-t)那么只需要把质量为a的,放在M-t上,并把上面的0.5a个1移动到另一边,如此完成了偶数a,n=k+1的递推要求.
当a为奇数时候,暂时去掉a,和一个1,余下类似.
因此按数学归纳法,命题成立. |