[不等式] $a_i\in[-2,2]$，且$\sum{a_k}=0$，求$\sum{a_k^3}$的最大值

其妙

已知$a_i\in[-2,2]，i=1，2，\cdots，2014$，且$a_1+a_2+\cdots+a_{2014}=0$，求$a_1^3+a_2^3+\cdots+a_{2014}^3$的最大值，
顺便问一下，有没有最小值？

Tesla35

这不是老题吗？差评！！

kuing

这不是老题吗？差评！！
Tesla35 发表于 2014-6-20 20:00

这题跟下标的数字关系极大，上次那个是2013

其妙

回复 2# Tesla35
没图，不是差评！

Tesla35

回复 3# kuing

    手机上论坛真是不方便！

其妙

回复 5# Tesla35
对，所以你的解答迟迟传不上来！

其妙

回复 3# kuing
原来如此？那就改为2013吧，
已知$a_i\in[-2,2]，i=1，2，\cdots，2013$，且$a_1+a_2+\cdots+a_{2013}=0$，求$a_1^3+a_2^3+\cdots+a_{2013}^3$的最大值，

kuing

回复  kuing
原来如此？那就改为2013吧，
已知$a_i\in[-2,2]，i=1，2，\cdots，2013$，且$a_1+a_2+\cdots+ ...
其妙 发表于 2014-6-20 20:37

那就 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=189

其妙

回复 8# kuing
还不能随便乱出呀!  以下是引用kuing的解法：
解：当$ x⩽2 $ 时，由$ 3x+2−x ^3 =(2−x)(x+1)^ 2 ⩾0 $ 得到$ x^ 3 ⩽3x+2$ ，故

$a _1^3 +a_2^ 3 +⋯+a_{2013}^ 3 ⩽3(a_ 1 +a_ 2 +⋯+a_{ 2013} )+2⋅2013=4026$,

当$ a_ 1 =a _2 =⋯=a _{671} =2$  且 $a_{ 672} =a_{ 673 }=⋯=a_{ 2013} =−1 $ 时取等，故最大值就是 $4026$ 。

PS1、由这个解法可以看出变量下界是多余的；
PS2、这个解法只适用于变元个数为 $3k$  个，除非更改变量和的值或上界等。

Tesla35

原来那帖子里你也回过啊！

其妙

回复 10# Tesla35
我都记不得了！