免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[数论] 电阻串并联问题

本帖最后由 abababa 于 2014-6-17 17:53 编辑

有足够的1欧姆电阻,通过串并联得到41/13欧姆,问最少需要多少个1欧姆电阻
感觉和连分式有关,$\frac{41}{13}=3+\frac{1}{6+\frac{1}{2}}$,这样先2个串联得$2$欧姆作为A组,倒数$\frac{1}{2}$,A组再和$6$个并联得$\frac{1}{\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}}$作为B组
B组再和3个串联就得结果了,可是我不能证明这是最少的,要怎么证明呢?
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

回复 1# abababa
这是物理问题呀?

TOP

回复 2# 其妙
只是借了物理的形式,实际还是数学问题,设有n个电阻,它们串联起来的等效电阻的公式是$R=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}R_i$,并联起来的公式是$\frac{1}{R}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{R_i}$,就是用到这两个物理公式,主要还是那种方式用到的电阻数是不是最少的,如果是怎么证明它,这是我现在做不到的

TOP

回复 1# abababa

1楼这里看不明白
    A组再和6个并联得...,应该是1/8,--

TOP

回复 4# realnumber

正确的应该是 2 个串再与 6 个并才是……

TOP

本帖最后由 abababa 于 2014-6-17 18:07 编辑

确实当时弄错了,已经改过来了。
这种方法也不能保证对所有数都是最小的,比如现在要弄$\frac{6}{5}$的电阻,按一楼连分式的方法就是$\frac{6}{5}=1+\frac{1}{5}$,这样是5个先并联再和1个串联,共须6个电阻
但是也可以3个串联作A组,2个串联作B组,AB两组再并联,就是$\frac{1}{R}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$,$R=\frac{6}{5}$,这样只要5个电阻

TOP

回复 6# abababa
楼主的问题真有意思,

TOP

回复 7# 其妙


    确实很有意思,要不先积累些容易处理的值.以下字母都为正整数,$(m,n)=1$.
当总电阻为n时,那么就n个串联,所需最少.
当总电阻为$\frac{1}{n}$时,就n个并联,所需最少.
当总电阻为$\frac{2}{n},(2,n)=1,n>2$时,按1楼的做法,猜测,2个串和$\frac{n-1}{2}$的并,所需最少.

TOP

回复 8# realnumber

虽然看起来总电阻是n时,n个串联所用电阻最少,但是还是要有具体的证明才觉得正确,因为4欧姆可以4个串联,也可以2个并联作A,2个并联作B,再并联,虽然数量都是4个电阻,但是形式上就不是唯一的表达了,不证明的话也不能明确一定是n个串联才是最少数量

TOP

2001年的MO就是考得以电阻问题为载体的数学题

TOP

回复 9# abababa
以下应该说是物理方法,数学方法觉得困难,证明的基础(就是原理)不明确.
n个电阻任意两个(或以上)并联,并联部分电阻会小于2,总电阻会小于n,n是最大值,这样只能都串联.

n个并联类似,总电阻$\frac{1}{n}$最小.

TOP

回复 11# realnumber

单说n个串联,不知道是不是用调和平均不等式证明,但是这个方法只考虑了只有一次并联的情况,完全可以并联后再并联,这样本来小的数取了倒数就变大了,而且可以不断的并联下去,就像我给出的例子那样

TOP

本帖最后由 realnumber 于 2014-6-18 11:24 编辑

特殊的举几个,n个1欧姆电阻,能串并出几种数值.(数据重复就略过不写,串并说明复杂的都放最后一个分号后.这样如果没遗漏的话,首次出现的数值,也即说明了所需最小电阻个数.)
1个:1.

$2个:2;\frac{1}{2}$.

$3个:3,\frac{3}{2};\frac{1}{3},\frac{2}{3}$.

$4个:4,\frac{5}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{3};\frac{3}{4},\frac{3}{5},\frac{1}{4},\frac{2}{5}$.

$5个:5,\frac{7}{2}, \frac{7}{3}, \frac{8}{3}, \frac{7}{4}, \frac{8}{5},\frac{5}{4}, \frac{7}{5};\frac{4}{5},\frac{5}{7},\frac{4}{7},\frac{5}{8}, \frac{3}{7}, \frac{3}{8},\frac{1}{5},\frac{2}{7}; \frac{6}{5}, \frac{6}{7}, \frac{5}{6}, \frac{7}{6}$(1,4两行或2,3两行数据串并的).

$6个:6,\frac{9}{2},\frac{10}{3},\frac{11}{3},\frac{11}{4},\frac{13}{5},\frac{9}{4},\frac{12}{5},\frac{9}{5},\frac{12}{7},\frac{11}{7},\frac{13}{8},\frac{10}{7},\frac{11}{8},\frac{6}{5},\frac{9}{7},\frac{11}{5},\frac{13}{7},\frac{11}{6},\frac{13}{6};\frac{7}{9}, \frac{7}{10}, \frac{8}{11}, \frac{7}{11}, \frac{8}{13},\frac{5}{9}, \frac{7}{12},\frac{4}{9},\frac{5}{12},\frac{4}{11},\frac{5}{13}, \frac{3}{10}, \frac{3}{11},\frac{1}{6},\frac{2}{9},\frac{6}{11}, \frac{6}{13}, \frac{5}{11}, \frac{7}{13};\frac{10}{9}, \frac{10}{11}, \frac{11}{10}, \frac{9}{10}.$
(1,5两行或2,4两行数据串并,3,3行没有出现新的数据)
再举完n=7,8,9,10就可以证明或否定1楼了.要不再程序? smallbasic的数组,输入,读出文件等等语句我还没懂,不好编.

TOP

回复 13# realnumber
实际上用5个可以做出$\frac{6}{5}$,就已经否定了这种连分式方法能求出最少电阻数了。
只是按13楼这种方法,越往后都要用到整数分拆,然后每种分拆再用乘法原理来算有几种,最后挑出所求的数是否在这些数中,这个数量太大了,对付我的问题也许容易求,对付一般的$\frac{m}{n}$就不容易了

TOP

这个问题其实挺复杂的,要知道,电阻的接法可不止串联并联两种,还有很多种电桥式的接法,可以弄出更奇怪数值的电阻

TOP

回复 15# 战巡
桥接确实有不同的值,这里只是借了物理的形式。题目原来的描述是求只用串并联的方式来组合,只是这两种方式我觉得就很复杂了。
现在13楼用反向的方式,虽然提供了一种形式化的方法来找到某一个给定的值是怎么组合的,但还是没找到公式化的方法来找最少电阻数。而且就算找出公式化的方法来确定最少电阻数,用这些电阻来构造出这个值也许也不容易

TOP

本帖最后由 abababa 于 2014-6-19 19:33 编辑

一位网友编了一个程序,是用Mathematica做的,他说可以计算出组成$\frac{41}{13}$的最少电阻是多少个,可惜他说他没有Mathematica就没算结果是多少(那他是怎么编的程序???),会Mathematica的朋友能帮助算一下吗?能不能看出是怎么组合成$\frac{41}{13}$的?
  1. value = Table[0, {i, 1, 2}];
  2. value[[1]] = {1};
  3. value[[2]] = {2, 1/2};
  4. m = 41/13;
  5. For[i = 3, i <= 11, i++,
  6.         pairs = Complement[IntegerPartitions[i, 2], {{i}}];
  7.         v = {};
  8.         For[j = 1, j <= Length[pairs], j++,
  9.                 pair = pairs[[j]];
  10.                 set1 = value[[pair[[1]]]];
  11.                 set2 = value[[pair[[2]]]];
  12.                 For[k1 = 1, k1 <= Length[set1], k1++,
  13.                         For[k2 = 1, k2 <= Length[set2], k2++,
  14.                                 AppendTo[v, set1[[k1]] + set2[[k2]]];
  15.                                 AppendTo[v, 1/(1/set1[[k1]] + 1/set2[[k2]])];
  16.                         ]
  17.                 ]
  18.         ]
  19.         AppendTo[value, Union[v, {i}]];
  20.         If[Position[value[[i]], m] != {}, Print[i]; Break[], ];
  21. ];
复制代码

TOP

回复 17# abababa

贴代码最好放在 [code][/code] 里面,不然 [ i ] 在论坛上会变成斜体。

TOP

回复 18# kuing
谢谢,我第一次放上来时还是好的,后来编辑了一次,不知怎么就变得不一样了,现在应该改好了。

TOP

回复 17# abababa

下载Mathematica后把他的代码复制了运行,结果是10,可是我完全不懂这些代码的意思,这个结果对吗?能看出来$m=41/13;$是要求的电阻值,它前面两行应该是只用1个和只用两个1欧姆电阻能组成的电阻值吧,就能猜到这些。

TOP

返回列表 回复 发帖