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相量加法

相量加法不是向量加法
相量加法能用普通的三角函数公式推导吗?
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搬板凳听科谱~

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本帖最后由 青青子衿 于 2014-6-12 14:04 编辑

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回复 3# isee
搬板凳听科谱(普)~
isee 发表于 2014-6-11 23:33

“科普”(物理知识中的数学原理):
“物理和工程领域中,常会使用到正弦信号(例如交流电路的分析),这时可以使用相量来简化分析。相量(Phasor)是一种矢量,是振幅\(A\)、相位\(\varphi\)和角频率\(\omega\)均为时不变的正弦波的一种表示方法。”——来自维基百科
把一个实数范围的按照正弦规律变化的时间函数与一个复数范围内的复指数函数一一对应起来,而其复常数部分则把正弦量的幅值和初相结合成一个复数表示了出来。这个复数称为正弦量的相量。
正弦量:凡是按照正弦规律变化的量,如电压、电流等,都称为正弦量。
正弦量的三要素:
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)\(A\)
(2) 角频率(angular  frequency)\(\theta \)
(3) 初相位(initial phase angle)\(\varphi\)
正弦量乘以常数、及正弦量的微分、积分、同频正弦量的代数和运算,其结果仍为一个同频的正弦量。
同方向、同频率的两个正弦量的合成:
\[\begin{gathered}
  {x_1} = {A_1}\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\\
  {x_2} = {A_2}\cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\\
\end{gathered} \]
\[\begin{gathered}
  x = {x_1} + {x_2} = {A_1}\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right) + {A_2}\cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\\
   = {A_1}\cos \omega t\cos {\varphi _1} - {A_1}\sin \omega t\sin {\varphi _1} + {A_2}\cos \omega t\cos {\varphi _2} - {A_2}\sin \omega t\sin {\varphi _2}\\
   = {A_1}\cos \omega t\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos \omega t\cos {\varphi _2} - {A_1}\sin \omega t\sin {\varphi _1} - {A_2}\sin \omega t\sin {\varphi _2}\\
   = \left( {{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}} \right)\cos \omega t - \left( {{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}} \right)\sin \omega t\\
\end{gathered} \]
令\[\begin{gathered}
  A\cos \varphi  = {A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}\\
  Asin\varphi  = {A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}\\
\end{gathered} \]
则\[\begin{gathered}
  x = {x_1} + {x_2} = A\sin \varphi \cos \omega t - A\cos \varphi \sin \omega t = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\\
   = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \cos \left( {\omega t + \arctan \frac{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}}{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}} \right)\\
\end{gathered} \]
一个正弦量可以用旋转的有向线段表示,而有向线段可以用复数表示,因此正弦量可以用复数来表示。(为与复数相区别,把表示正弦量的复数称为相量。并在大写字母上打一“▪”)
如:
直角坐标式:\[\dot U = a + jb\]
三角函数式:\[\dot U = U(\cos \varphi  + j\sin \varphi )\]
指数式:\[\dot U = U\,{e^{j\varphi }}\]
极坐标形式:\[\dot U\, = U\angle \varphi \]
正弦量(时间函数)—唯一对应→复指数函数→相量(复数)→相量运算(复数运算)→相
量结果→所求正弦量
相量是表示正弦交流电的复数,正弦交流电是时间的函数,所以二者之间并不相等。
这种计算方法的关键是振幅\(A\)和相位\(\varphi\)并不取决于角频率\(\omega\)或时间\(t\),因为在这种情况下才可以使用相量法。方程中的时间和频率因子可以在计算时去掉,在相量运算完成后的结果中乘以这一因子即可。若使用极坐标表示法,运算的形式则为:
\[x = {x_1} + {x_2} = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) \Rightarrow {A_1}\angle {\varphi _1} + {A_2}\angle {\varphi _2} = A\angle \varphi \]
相量也可以在复平面上用向量表示。于是这给予相量表示正弦量一个契机。
正弦量的瞬时值可以在复平面上用旋转矢量在纵轴上投影的长度(即实部)来表示(即正弦量(时间函数)可以用变化的矢量表示),旋转矢量的长度等于正弦量的最大值;旋转矢量的起始位置等于正弦量的初相位角(即幅角);并以等角速度\(\omega\)逆时针绕原点旋转。
在复平面,可以由勾股定理发现:
\[A = \sqrt {{{\left( {{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}} \right)}^2} + {{\left( {{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}} \right)}^2}}  = A = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \]
可以由余弦定理发现:
\[A = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \]
由几何角度关系发现:
\[tan\varphi  = \frac{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}}{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}\]

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相量加法就是向量加法,你都在用复数加法了,还不就是平面向量的加法。

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好像是……
其实相量在某种意义上就是向量吧……

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