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$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x+1} dx$

如题
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现充已死,エロ当立。
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《方幂和及其推广和式》 数学学习与研究2016.

本帖最后由 战巡 于 2014-6-6 17:22 编辑

回复 1# tommywong


小意思......
先换元$y=e^{-x}$,得
\[\int_0^{+\infty}\frac{x}{e^x+1}dx=\int_0^1\frac{-\ln(y)}{1+y}dy\]
再换重积分
\[\int_0^1\frac{-\ln(y)}{1+y}dy=\int_0^1dy\int_y^1\frac{dz}{z(1+y)}\]
调换顺序
\[=\int_0^1\frac{\ln(1+z)}{z}dz\]
\[=\int_0^1\sum_{k=0}^\infty(-1)^{k}\frac{z^k}{k+1}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^{k}}{(k+1)^2}=\frac{\pi^2}{12}\]

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回复 2# 战巡
,换元,无穷积分变为正常积分,再变为二重积分,然后又变为一重积分,最后用级数收官!妙!

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本帖最后由 tommywong 于 2014-6-9 21:05 编辑

转自:http://bbs.emath.ac.cn/thread-5595-1-1.html

$\displaystyle A=\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x-1} dx,B=\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x+1} dx$

$\displaystyle B=\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x+1} dx=\int_0^{+\infty} \frac{x(e^x-1)}{e^{2x}-1} dx=\int_0^{+\infty} \frac{xe^x}{e^{2x}-1} dx - \int_0^{+\infty} \frac{x}{e^{2x}-1} dx$

$\displaystyle =\int_0^{+\infty} \frac{xe^x}{e^{2x}-1} dx - \frac{1}{4} A$

$\displaystyle A+B=\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x-1} dx+\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x+1} dx=2\int_0^{+\infty} \frac{xe^x}{e^{2x}-1} dx=\frac{1}{2}A+2B$

$\displaystyle B=\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}\zeta(2)\Gamma(2)=\frac{\pi^2}{12}$

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转自:
$\displaystyle A=\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x-1} dx$
...
tommywong 发表于 2014-6-9 21:00

欧拉又发现了伯努利数的生成函数(generating function):
\[ \frac{x}{e^x-1} =\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{B_k}{k!}x^k\]
$\displaystyle A=\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x-1} dx=\int_0^{+\infty}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{B_k}{k!}x^k$

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