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[组合] 求证所有直线都交于一点

平面上给出$n \ge 4$条两两不平行的直线 ,每个交点处至少有三条直线通过,求证所有直线都交于一点
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回复 2# kuing


    对偶吧

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回复 3# isee
那个仿射几何里的对偶原理?

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回复 4# 其妙


    嗯,我觉得是。

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和2楼说的那个题是很像,发一位网友给的解答
假设交点不止一个,则必存在一点到某直线距离大于零,设这些距离中最小的为点$A$到直线$l$的距离$h$,垂足为$H$,因为$l$不过点$A$,但过点$A$至少有三条直线$b,c,d$,且所有直线两两不平行,所以$b,c,d$都和$l$相交,设三交点为$B,C,D$,于是必有两个在$H$同侧或与$H$重合,不妨设$B,C$在$H$同侧,顺序依次为$B,C,H$,$C,H$可重合,作$CP_1,HP_2$垂直直线$b$,垂足分别为$P_1,P_2$,则$\frac{CP_1}{HP_2}=\frac{BC}{BH}\le1$,当且仅当$C,H$重合时取等号,所以$CP_1 \le HP_2 < AH$,这与$AH$是所有这些距离中最小的矛盾

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回复 6# abababa
这么强大!把他介绍到本论坛来噻!

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发网友解答的与主楼相关的几个问题。
1.空间$n$点不全共面,求证存在一圆恰过三点。
2.平面上有$7$点,任意$4$点不共线,求恰过其中$3$点的直线至多有几条。
3.空间中有不共面的$n > 3$点,求证存在无穷多个平面,恰好通过其中两点。

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