[函数] 问两个多项式的题

abababa

问题一：$f(x)$是$2n$次多项式，满足$f(0)=f(2)=\cdots=f(2n)=0,f(1)=f(3)=\cdots=f(2n-1)=2,f(2n+1)=-30$，求$n$
问题二：多项式$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$的根全是实数，其中$a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_1,a_0$不是$1$就是$-1$，求$n$

007

问题一好像得用拉格朗日插值多项式；问题二显然得用根与系数的关系了

其妙

回复 2# 007
嗯，第一题答案$n=2$吧

abababa

第一题在007提示的插值多项式和另一位网友提示的构造新函数g(x)=f(x)-1下已经解出，第二题答案是n=1，2，3，虽然想到韦达定理了，但还是没有思路

其妙

回复 4# abababa
写一下第一题的过程呢？

007

不妨设$n$个实根分别为$x_1,x_2,\cdots,x_n$,由根与系数的关系,有$$\sum_{i=1}^nx_i=-a_{n-1},\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j=a_{n-2},x_1x_2\cdots x_n=(-1)^na_0,$$ 从而$$\sum_{i=1}^nx_i^2=\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2-2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j=1-2a_{n-2}\geqslant n\sqrt{x_1^2x_2^2\cdots x_n^2}=n,$$故$$-1\leqslant a_{n-2} \leqslant \dfrac{1-n}{2},$$于是$$n \leqslant 3.$$当$n=1,2,3$是分别求解得到多项式$x\pm1,x^2\pm x-1,(x-1)^2(x+1)$或$(x+1)^2(x-1),$均满足题设.
……

abababa

回复 6# 007
谢谢，关键是第二行数学公式里那个不等式，我在这方面很差。

abababa

回复 5# 其妙

发一下第一题一位网友给的解答，哦，他里面定义了\choose，是不是这个显示不太正常？
由于$2n$次多项式$f(x)$的$2n+1$阶差分为零，所以$\sum_{i=0}^{2n+1}(-1)^{2n+1-i}C_{2n+1}^{i}f(x+i) = 0$
令$x = 0$并将$f(i)$代入，得$\sum_{i=0}^{2n+1}(-1)^{2n+1-i}C_{2n+1}^{i}f(i) = 0$，即$f(2n+1)+\sum_{i=0}^{2n}(-1)^{2n+1-i}C_{2n+1}^{i}f(i) = 0$
于是$f(2n+1)+2(C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{3}+\cdots+C_{2n+1}^{2n-1}) = 0$
而$C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{3}+\cdots+C_{2n+1}^{2n-1} = (C_{2n}^{1}+C_{2n}^{0})+(C_{2n}^{3}+C_{2n}^{2})+\cdots+(C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n-2}) = \sum_{i=0}^{2n}C_{2n}^{i}-C_{2n}^{2n} = 2^{2n}-1$
所以$-30+2(2^{2n}-1) = 0$，解得$n = 2$

其妙

回复 8# abababa

其妙

回复 6# 007