本帖最后由 战巡 于 2014-6-1 03:13 编辑
回复 1# 转化与化归
先考虑这个吧:
\[\sum_{i=0}^{2n}\frac{(-1)^i}{C^i_{2n}}\]
原式就是$1-这个玩意$
\[\sum_{i=0}^{2n}\frac{(-1)^i}{C^i_{2n}}=\sum_{i=0}^{2n}\frac{(-1)^ii!(2n-i)!}{(2n)!}=\sum_{i=0}^{2n}\frac{(-1)^i\Gamma(i+1)\Gamma(2n-i+1)}{\Gamma(2n+1)}\]
\[=(2n+1)\sum_{i=0}^{2n}\frac{(-1)^i\Gamma(i+1)\Gamma(2n-i+1)}{\Gamma(2n+2)}=(2n+1)\sum_{i=0}^{2n}(-1)^iB(i+1, 2n-i+1)\]
\[=(2n+1)\sum_{i=0}^{2n}(-1)^i\int_0^1x^i(1-x)^{2n-i}dx=(2n+1)\int_0^1dx\sum_{i=0}^{2n}(-1)^ix^i(1-x)^{2n-i}\]
\[=(2n+1)\int_0^1(x^{2n+1}+(1-x)^{2n+1})dx=\frac{2n+1}{n+1}\]
原式为:
\[1-\frac{2n+1}{n+1}=-\frac{n}{n+1}\] |