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[组合] 一个组合求值

一个组合题.jpg
2014-5-30 06:33
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回复 1# 转化与化归

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组合数-1次

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本帖最后由 战巡 于 2014-6-1 03:13 编辑

回复 1# 转化与化归

先考虑这个吧:
\[\sum_{i=0}^{2n}\frac{(-1)^i}{C^i_{2n}}\]
原式就是$1-这个玩意$

\[\sum_{i=0}^{2n}\frac{(-1)^i}{C^i_{2n}}=\sum_{i=0}^{2n}\frac{(-1)^ii!(2n-i)!}{(2n)!}=\sum_{i=0}^{2n}\frac{(-1)^i\Gamma(i+1)\Gamma(2n-i+1)}{\Gamma(2n+1)}\]
\[=(2n+1)\sum_{i=0}^{2n}\frac{(-1)^i\Gamma(i+1)\Gamma(2n-i+1)}{\Gamma(2n+2)}=(2n+1)\sum_{i=0}^{2n}(-1)^iB(i+1, 2n-i+1)\]
\[=(2n+1)\sum_{i=0}^{2n}(-1)^i\int_0^1x^i(1-x)^{2n-i}dx=(2n+1)\int_0^1dx\sum_{i=0}^{2n}(-1)^ix^i(1-x)^{2n-i}\]
\[=(2n+1)\int_0^1(x^{2n+1}+(1-x)^{2n+1})dx=\frac{2n+1}{n+1}\]

原式为:
\[1-\frac{2n+1}{n+1}=-\frac{n}{n+1}\]

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回复 4# 战巡 [/b
解的厉害!

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$\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{C_{2n}^k}=\frac{2n+1}{2n+2}\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1} (\frac{1}{C_{2n+1}^k}+\frac{1}{C_{2n+1}^{k+1}})$

$\displaystyle=\frac{2n+1}{2n+2}(\frac{1}{C_{2n+1}^1}+\frac{(-1)^{2n-1}}{C_{2n+1}^{2n+1}})=\frac{2n+1}{2n+2}(\frac{-2n}{2n+1})=\frac{-n}{n+1}$

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史济怀,

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回复 7# 其妙

史济怀…………
其妙 发表于 2014-6-1 15:25

《组合恒等式》史济怀.pdf
搜狗截图20150321195718.png
2015-3-21 20:07

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回复 8# 青青子衿

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