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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 来自一个群里的向量题。。。。
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发表于 2013-9-22 18:58
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[几何]
来自一个群里的向量题。。。。
本帖最后由 yuzi 于 2013-9-22 19:01 编辑
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2013-9-22 18:57
我想问的是,这个比值满足什么条件,可以保证三点构成三角形,或共线?
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发表于 2013-9-22 19:22
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本帖最后由 yuzi 于 2013-9-22 22:13 编辑
若三个不同的点$A,B,C$满足$(\vv{AB}\cdot \vv{BC}):(\vv{BC}\cdot \vv{CA}):(\vv{CA}\cdot \vv{AB})=3:4:(-5)$,则这三点( )
A.组成锐角三角形
B.组成直角三角形
C.组成钝角三角形
D.在同一条直线上
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发表于 2013-9-22 20:00
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2#
yuzi
中间的 \$ 可以去掉,直接在整个式子前后加 \$ 即可。
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发表于 2013-9-22 20:42
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如果 $A$, $B$, $C$ 三点共线,若 $B$ 在 $A$, $C$ 之间,设 $AB=x>0$, $BC=y>0$,则
\begin{align*}
\bigl(\vv{BC}\cdot\vv{CA}\bigr) :\bigl(\vv{CA}\cdot\vv{AB}\bigr) :\bigl(\vv{AB}\cdot\vv{BC}\bigr) &=\bigl(-y(x+y)\bigr):\bigl(-(x+y)x\bigr):(xy) \\
&=\left( 1+\frac yx \right):\left( 1+\frac xy \right):(-1),
\end{align*}
所以,若 $\bigl(\vv{BC}\cdot\vv{CA}\bigr):\bigl(\vv{CA}\cdot\vv{AB}\bigr):\bigl(\vv{AB}\cdot\vv{BC}\bigr) =p:q:r$ 且 $A$, $B$, $C$ 三点共线,则 $p$, $q$, $r$ 不能全部同号,而如果将比例化简为 $p$, $q>0$, $r=-1$,则还需要 $p$, $q>1$ 且 $(p-1)(q-1)=1\iff pq=p+q$。
如果 $A$, $B$, $C$ 构成三角形,设对应边长为 $a$, $b$, $c$,则
\begin{align*}
&\bigl(\vv{BC}\cdot\vv{CA}\bigr) :\bigl(\vv{CA}\cdot\vv{AB}\bigr) :\bigl(\vv{AB}\cdot\vv{BC}\bigr) = p:q:r \\
\iff{}&ab\cos C:bc\cos A:ca\cos B=p:q:r \\
\iff{}&(a^2+b^2-c^2):(b^2+c^2-a^2):(c^2+a^2-b^2)=p:q:r \\
\iff{}&b^2:c^2:a^2=(p+q):(q+r):(r+p),
\end{align*}
所以此时 $p+q$, $q+r$, $r+p$ 三者同号,如果都为正,那么 $\sqrt{p+q}$, $\sqrt{q+r}$, $\sqrt{r+p}$ 要构成三角形。
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发表于 2013-9-22 20:52
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由楼上的结论可见,1#的比值不存在。
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kuing
嗯嗯。。。菜鸟一个
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