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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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高等数学讨论
» 求极限:$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{\dfrac{\sqrt[n]{n!}}n}$
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其妙
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发表于 2014-5-22 18:01
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只看该作者
求极限:$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{\dfrac{\sqrt[n]{n!}}n}$
求极限:$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{\dfrac{\sqrt[n]{n!}}n}$
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妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!
tommywong
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发表于 2014-5-22 19:00
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$\displaystyle \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{\sqrt[n]{e^{lnn!}}}{n}=\frac{\sqrt[n]{e^{\sum_{x=1}^n lnx}}}{n}$
$\displaystyle \int_1^n lnxdx=nlnn-n+1$
$\displaystyle nlnn-n+1 \le \sum_{x=1}^n lnx \le (n+1)lnn -n+1$
$\displaystyle \frac{\sqrt[n]{e^{nlnn-n+1}}}{n} \le \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \le \frac{\sqrt[n]{e^{(n+1)lnn-n+1}}}{n}$
$\displaystyle \frac{e^{lnn-1+\frac{1}{n}}}{n} \le \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \le \frac{e^{(1+\frac{1}{n})lnn-1+\frac{1}{n}}}{n}$
$\displaystyle e^{-1+\frac{1}{n}} \le \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \le e^{\frac{1}{n}lnn-1+\frac{1}{n}}$
$\displaystyle e^{-1} \le \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \le e^{-1}$
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kuing
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发表于 2014-5-22 19:51
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FAQ哇这是
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty }\frac{\sqrt[n]{n!}}n&=\exp \left( \lim_{n\to +\infty }\ln \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}} \right) \\
& =\exp \left( \lim_{n\to +\infty }\frac1n\left( \ln \frac nn+\ln \frac{n-1}n+\cdots +\ln \frac1n \right) \right) \\
& =\exp \left( \int_0^1{\ln x\rmd x} \right) \\
& =\exp \left( -1 \right).
\end{align*}
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战巡
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发表于 2014-5-22 21:14
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其妙
斯特灵公式瞬秒.......
\[n!\sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n\]
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其妙
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发表于 2014-5-22 23:20
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,夹逼,定积分,Stirling,齐登场!
Stirling:
http://baike.baidu.com/view/4113061.htm?fr=aladdin
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