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求极限:$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{\dfrac{\sqrt[n]{n!}}n}$

求极限:$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{\dfrac{\sqrt[n]{n!}}n}$
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妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

$\displaystyle \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{\sqrt[n]{e^{lnn!}}}{n}=\frac{\sqrt[n]{e^{\sum_{x=1}^n lnx}}}{n}$

$\displaystyle \int_1^n lnxdx=nlnn-n+1$

$\displaystyle nlnn-n+1 \le \sum_{x=1}^n lnx \le (n+1)lnn -n+1$

$\displaystyle \frac{\sqrt[n]{e^{nlnn-n+1}}}{n} \le \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \le \frac{\sqrt[n]{e^{(n+1)lnn-n+1}}}{n}$

$\displaystyle \frac{e^{lnn-1+\frac{1}{n}}}{n} \le \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \le \frac{e^{(1+\frac{1}{n})lnn-1+\frac{1}{n}}}{n}$

$\displaystyle e^{-1+\frac{1}{n}} \le \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \le e^{\frac{1}{n}lnn-1+\frac{1}{n}}$

$\displaystyle e^{-1} \le \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \le e^{-1}$

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FAQ哇这是

\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty }\frac{\sqrt[n]{n!}}n&=\exp \left( \lim_{n\to +\infty }\ln \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}} \right) \\
& =\exp \left( \lim_{n\to +\infty }\frac1n\left( \ln \frac nn+\ln \frac{n-1}n+\cdots +\ln \frac1n \right) \right) \\
& =\exp \left( \int_0^1{\ln x\rmd x} \right) \\
& =\exp \left( -1 \right).
\end{align*}

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回复 1# 其妙

斯特灵公式瞬秒.......
\[n!\sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n\]

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,夹逼,定积分,Stirling,齐登场!
Stirling:http://baike.baidu.com/view/4113061.htm?fr=aladdin

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