[数列] 数列通项求化简

tommywong

$(a_{n+1}+k_1)(a_n+k_2)=k_3$的通项

$\displaystyle a_n=[(-\frac{m^2}{k_3})^{n-1} (\frac{1}{a_1+s}-\frac{m}{k_3+m^2})+\frac{m}{k_3+m^2}]^{-1}-s$

$\displaystyle s=\frac{k_1+k_2-\sqrt{(k_1-k_2)^2+4k_3}}{2},m=\frac{k_1-k_2-\sqrt{(k_1-k_2)^2+4k_3}}{2}$

例如：$(a_{n+1}-1)(a_n-1)=2,a_1=2$

$s=-1-\sqrt{2},m=-\sqrt{2}$

$\displaystyle a_n=\frac{4}{(-1)^n(4+3\sqrt{2})-\sqrt{2}}+1+\sqrt{2}$

其妙

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实际就是一阶分式线性递归数列嘛，用不动点方法、取倒数法，或构造等比数列（两个不动点不同）或等差数列（两个不动点相同）

tommywong

$\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{a_n+k},s=\frac{k-\sqrt{k^2+4}}{2}$

$\displaystyle a_n=(1+s^2)[(-s^{-2})^{n-1}(\frac{1+s^2}{a_1+s}-s)+s]^{-1}-s$