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[数论] 来自某教师群的[n/1]+...+[n/n]+[√n]为偶数

茂名 杨老师(4747*****) 2014-5-20 15:56:58
求证,对于任意正整数 n ,

[n/1] + [n/2] + [n/3] + … + [n/n] + [√n]

总是偶数。这里, [x] 表示不超过 x 的最大整数。


以下如无特别说明,只考虑第一象限中的情形(不包括坐标轴)。

QQ截图20140520200736.jpg
2014-5-20 20:07


如图,记函数 $y=n/x$ 的图象为曲线 $C$,因为 $[n/k]$ 等于直线 $x=k$ 上且在 $C$ 下方(及 $C$ 上)的整点个数,又由于当 $x>n$ 时 $[n/x]=0$,可见 $[n/1] + [n/2] + [n/3] +\cdots+ [n/n]$ 等于 $C$ 下方(含 $C$)的所有整点的个数。

因为直线 $y=x$ 与 $C$ 交于 $\bigl(\sqrt n,\sqrt n\bigr)$,可见 $\bigl[\sqrt n\bigr]$ 等于直线 $y=x$ 上且在 $C$ 下方(及 $C$ 上)的整点个数。

因此,若用以上所述的格点个数来表示 $[n/1] + [n/2] + [n/3] +\cdots+ [n/n]+\bigl[\sqrt n\bigr]$,那么直线 $y=x$ 上的格点被计算了两次,而不在 $y=x$ 上的则由于图形关于 $y=x$ 对称,必然成对出现,所以 $[n/1] + [n/2] + [n/3] +\cdots+ [n/n]+\bigl[\sqrt n\bigr]$ 必然为偶数。
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来自 matrix67 ,偶当时还转载了博主此文:http://www.matrix67.com/blog/archives/5919

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哈哈,原来,你又证明了一次啊

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2014 年印度全国奥林匹克数学竞赛(INMO)的第 2 题

kuing 才思敏捷

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QQ图片20140520203658.jpg
2014-5-20 20:37
原来也不是新东西……
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本帖最后由 isee 于 2014-5-20 20:41 编辑

回复 5# kuing


    汗,独自发现就是新东西呀,历史上独立发现的例子数不胜数 更何况在今天信息资源高速共享的今天,这种“独自”更加弥之珍贵。

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标答也挺漂亮的

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回复 6# isee

其实我去考虑整点也是得益于 http://kuing.orzweb.net/redirect ... id=434&pid=2591(3#)

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