[不等式] 两个不等式求证

等待hxh

2014-5-19 23:06

（不等式方面我依然非常菜，希望高手指点！）

kuing

这几天不舒服，居然漏了这个贴子没看到，现在补回一下。

第1题参考 http://www.artofproblemsolving.c ... 70547&#p2070547

kuing

第二题懒得想巧法，由于次数低，直接去分母也不麻烦，当然，换个元数据好算些。
令 $x=3a$, $y=3b$, $z=3c$，则$a$, $b$, $c>0$, $a+b+c=1$，于是
\begin{align*}
\sum\frac1{9-xy}\leqslant\frac38&\iff\sum\frac1{1-ab}\leqslant\frac{27}8 \\
& \iff8\sum(1-bc)(1-ca)\leqslant27\prod(1-ab) \\
& \iff24-16\sum ab+8abc\sum a\leqslant27-27\sum ab+27abc\sum a-27(abc)^2 \\
& \iff3-11\sum ab+19abc-27(abc)^2\geqslant 0,
\end{align*}
显然 $abc\leqslant 1/27$，故只要证
\[3-11\sum ab+18abc\geqslant 0,\]
即
\[3(a+b+c)^3-11(a+b+c)(ab+bc+ca)+18abc\geqslant 0,\]
整理为
\[2\sum a^3-\sum a^2b-\sum ab^2+\sum a(a-b)(a-c)\geqslant 0,\]
显然成立。