求椭圆$x^2-2xy+2y^2=1$的焦点坐标、长轴、短轴长。

其妙

求椭圆$x^2-2xy+2y^2=1$的焦点坐标，和长轴、短轴长。

其妙

回复 2# tommywong
，焦点坐标，和长轴、短轴长呢？

其妙

回复 4# tommywong
，就差焦点坐标啦！

其妙

谢谢楼上的各位了！中学、大学的方法都有了！

其妙

回复 14# isee
那个是二次型的矩阵（对称的），然后如何化为二次型的问题吧

其妙

回复 18# isee
那个A（对称阵）很简单的，背一下公式就可以了。

其妙

我也来求一下长轴$2a$、短轴$2b$，显然$a^2=(x^2+y^2)_{\max}$，$b^2=(x^2+y^2)_{\min}$.下面用初等的方法（齐次法）：

$u=x^2+y^2=\dfrac{x^2+y^2}{x^2-2xy+2y^2}=\dfrac{1+t^2}{1-2t+2t^2}$，其中$y=tx$.

故$(2u-1)t^2-2ut+u-1=0$，于是当$2u-1=0$时，$t=-\dfrac12$,

当$2u-1\ne0$时，$\Delta=4[u^2-(2u-1)(u-1)]\geqslant0$，得到$\dfrac{3-\sqrt5}2\leqslant u\leqslant \dfrac{3+\sqrt5}2$，可验证等号均成立.

于是，$a^2=u_{\max}=\dfrac{3+\sqrt5}2$，当且仅当$t=\dfrac{u}{2u-1}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}=\dfrac yx$取等号，此为长轴方程$y=\dfrac{\sqrt5-1}{2}x$；

$b^2=u_{\min}=\dfrac{3-\sqrt5}2$，当且仅当$t=\dfrac{u}{2u-1}=-\dfrac{\sqrt5+1}{2}=\dfrac yx$取等号，此为短轴方程$y=-\dfrac{\sqrt5+1}{2}x$.

由于$c^2=a^2-b^2=\sqrt5$，再联立长轴方程即可得焦点坐标$\left(\sqrt{\dfrac{\sqrt5+1}2},\sqrt{\dfrac{\sqrt5-1}2}\right), \left(-\sqrt{\dfrac{\sqrt5+1}2},-\sqrt{\dfrac{\sqrt5-1}2}\right)$。

另外，长轴$2a=\sqrt5+1$, 短轴$2b=\sqrt5-1$.

其妙

回复 6# kuing
你这个是长轴还是半长轴呀？短轴还是半短轴？

其妙

回复 29# isee
迷向切线，高端大气上档次！
没学过，或者搞忘了！

其妙

回复 31# 删广告专用
这个账号都忘啦，只有查聊天记录了

其妙

回复 33# kuing
啥问题呀？是不是很高深的？

其妙

回复 35# kuing
发广告的还做不起初中题？也正常，或者说他没的时间去做，一心只想发广告

其妙

居然成了南开自主招生数学试题了！（数据有改动）
http://blog.sina.com.cn/s/blog_71942ef00102vy4t.html

其妙

类似的有1993年竞赛题：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_71942ef00102vyaa.html