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当然旋转变换，矩阵上来啊

不过，kuing 不用旋转也搞定了

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回复 8# 战巡


   \[\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}^TA\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=x^2-2xy+\color{red}{2}y^2\]

矩阵基本记了，试着算了下，应该有红色的2倍吧？

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回复 12# 战巡


    主要太久了忘记了，确认一下，哈哈


    继续，求特征值：

\[f(\lambda)=\abs{\lambda\mathbf{I}-A}=0\]

即是：

\[\left|
\begin{array}{cc}
\lambda-1 & 1 \\
1 &  \lambda-2
\end{array}
\right|=0,\lambda=\frac {3\pm\sqrt 5}{2}\]

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回复 16# 其妙

是呀，8楼 战巡就是这么写的啊，我就是在补充怎么求出特征值的。

我一知半解，只要结果，主要是化标准方程，回忆一下矩阵变换，

这样一来，就得到2楼的标准方程：

\[\frac{x'^2}{\frac{3+\sqrt{5}}2}+\frac{y'^2}{\frac{3-\sqrt{5}}2}=1\]

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回复 17# isee


    OK，求出这个焦点坐标，然后，坐标轴再转回来……




    特征向量 就先不管了咯，那个A怎么来的也先不管了，哈哈，忘光了

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回复 24# kuing


    大工程，题对他估计是小意思，不过，写代码就麻烦了，哈哈

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中心是原点很关键啊，欣赏欣赏

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求$x^2-2xy+2y^2=1$焦点。

用高等几何知识，但书写用初等方式，即不用齐次坐标，也不用矩阵，则有


$B^2-4AC=4-8<0$，即此二次曲线为椭圆。

设其斜率为$k$的切线方程为$y=kx+m$，与椭圆联立，整理有
\begin{align*}
(2k^2-2k+1)x^2+2m(2k-1)x+2m^2-1&=0\\
\Delta =4m^2(2k-1)^2-4(2k^2-2k+1)(2m^2-1)&=0\\
\Rightarrow m^2&=2k^2-2k+1
\end{align*}

斜率为$k$的切线方程为
\[y=kx\pm \sqrt {2k^2-2k+1}\]

令$k=\pm \mathrm{i}(\mathrm{i^2=-1)}$，于是迷向切线为
\begin{align*}
y&=\mathrm{i}x+\sqrt{-1-2\mathrm{i}}\\[2ex]
y&=\mathrm{i}x-\sqrt{-1-2\mathrm{i}}\\[2ex]
y&=-\mathrm{i}x+\sqrt{-1+2\mathrm{i}}\\[2ex]
y&=-\mathrm{i}x+\sqrt{-1+2\mathrm{i}}
\end{align*}

联立求有穷交点，解得两实焦点$\left(\sqrt{\frac{\sqrt5+1}2},\sqrt{\frac{\sqrt5-1}2}\right), \left(-\sqrt{\frac{\sqrt5+1}2},-\sqrt{\frac{\sqrt5-1}2}\right)$

容易知到，椭圆中心为原点，从而长轴所在方程即原点与焦点决定的直线，与椭圆次联立求顶点坐标……

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复元素，迷向切线就是斜率为$\pm \mathrm{i}$的切线，高等几何范围，研究主轴，焦点，以及两直线的交角度量等相关