kuing

由于将 $x$, $y$ 同时变为其相反数时原式不变，故椭圆关于原点对称。

将椭圆配方为 $(x-y)^2+y^2=1$，于是可设 $x=\sin\theta+\cos\theta$, $y=\sin \theta$，考虑椭圆上的点到原点距离的平方，有
\[x^2+y^2=1+\sin2\theta+\frac{1-\cos2\theta}2=\frac32+\frac{\sqrt5}2\sin(2\theta+\varphi)\in \left[ \frac{3-\sqrt5}2,\frac{3+\sqrt5}2 \right],\]
由此可见，设椭圆的半长轴、半短轴长分别为 $a$, $b$，则有
\[a^2=\frac{3+\sqrt5}2, b^2=\frac{3-\sqrt5}2,\]
开方即
\[a=\frac{\sqrt5+1}2, b=\frac{\sqrt5-1}2.\]

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同样考虑椭圆上的点到原点距离的平方，待定 $m$, $n>0$，由均值有
\[x^2+\frac{x^2}m+my^2+2y^2\geqslant x^2-2xy+2y^2\geqslant x^2-\frac{x^2}n-ny^2+2y^2,\]
令 $x^2$, $y^2$ 的系数相同，解得
\[m=\frac{\sqrt5-1}2,n=\frac{\sqrt5+1}2,\]
代入得到
\[\frac{3-\sqrt5}2\leqslant x^2+y^2\leqslant \frac{3+\sqrt5}2,\]
不等式左边的取等条件为 $x=-my$，代回原方程解得
\[y=\pm \sqrt{\frac1{m^2+2m+2}}=\pm \sqrt{\frac{5-\sqrt5}{10}},\]
相应地
\[x=\mp \sqrt{\frac{m^2}{m^2+2m+2}}=\mp \sqrt{\frac{5-2\sqrt5}5},\]
所以不等式左边取等的点为
\[\left( \sqrt{\frac{5-2\sqrt5}5},-\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{10}} \right),\left( -\sqrt{\frac{5-2\sqrt5}5},\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{10}} \right),\]
类似地，不等式右边的取等条件为 $x=ny$，代入可解出不等式右边取等的点为
\[\left( \sqrt{\frac{5+2\sqrt5}5},\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{10}} \right),\left( -\sqrt{\frac{5+2\sqrt5}5},-\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{10}} \right),\]
故此以上四个点分别就是椭圆的短轴和长轴端点。

此外，$x=-my$ 和 $x=ny$ 就是椭圆的对称轴，而
\[c^2=a^2-b^2=\frac{3+\sqrt5}2-\frac{3-\sqrt5}2=\sqrt5,\]
设焦点坐标为 $(x,y)$，则
\[\led
x-ny&=0,\\
x^2+y^2&=\sqrt5,
\endled\]
解得焦点坐标为
\[\left(\sqrt{\frac{\sqrt5+1}2},\sqrt{\frac{\sqrt5-1}2}\right), \left(-\sqrt{\frac{\sqrt5+1}2},-\sqrt{\frac{\sqrt5-1}2}\right)\]

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改了一下6#，先说明中心是原点再考虑距离平方，这样比较合理些

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回复 21# 其妙

噢，是半……改了

kuing

回复 23# 第一章

写写看呐

kuing

回复 26# 第一章

圆奶乳齿

kuing

回复 32# 其妙

这个号现在也没什么用了，自从在注册里设置了数学问题之后就成功防住广告了

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回复 34# 其妙

基本上是初中范围内

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回复 36# 其妙
发广告的有人工发也有机器发，像我们这些小论坛，一般不会被人工发的盯上，因为既然选择人工发，论坛是大型还是小型都要用差不多的人力，那当然就选择大型论坛发了，所以小型论坛发广告的大多数都是机器发的，于是注册验证问题就很有效了，当然，验证问题不可以是四则运算，因为机器应该有应对的程序，所以用一些简单题目就可以了，还有就是像你说的那样，就算是人工来发的，即便是简单题也没心思去做了，还不如去别的地方发。