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回复 17# realnumber
我知道啊
睡自己的觉,让别人说去...

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回复 16# kuing
额...我有想过不等式,不过是奔着幂平均去了...
睡自己的觉,让别人说去...

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这样看来,推广到$n$次都有$x_1=x_2=x_3=\cdots=x_n$?
睡自己的觉,让别人说去...

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回复 23# 零定义

奇数次可以,偶数的话可能未必
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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这种题是不是可以两两作差,得到$C_5^2=10$个等式,然后假定$x_1>x_2$,再在$10$个等式中选取若干个,就会 ...
其妙 发表于 2013-9-25 18:30

按13楼的想法终于成功(希望各位检查一下有无错误),没想到在编辑18楼的解答时,各位已经发了几次言并翻页了啦!,为了省的翻页,将18楼的再次复制到此页,不是灌水啊!
求方程组的所有实数解。下标写起来太难写了,改了一下
\begin{aligned}
(a+b+c)^5&=3d…………(1)\\
(b+c+d)^5&=3e…………(2)\\
(c+d+e)^5&=3a…………(3)\\
(d+e+a)^5&=3b…………(4)\\
(e+a+b)^5&=3c…………(5)
\end{aligned}
可以利用这个式子:$x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)$,
其中$g(x,y)=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4=(x+y)(x^3+y^3)+x^2y^2\geqslant0$
或者$g(x,y)=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4=(x+y)^2(x^2-xy+y^2)+x^2y^2\geqslant0$
当然也可以直接利用$f(t)=t^5$的单调性。

利用公式$x^5-y^5=(x-y)g(x,y)$,其中$x>0,y>0,g(x,y)=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4=(x+y)^2(x^2-xy+y^2)+x^2y^2>0$,

解:  先假设$a>b$,则$(3)-(4)$得:$3(a-b)=(c-a)g(x,y)>0$,$c-a>0$,故$c>a>b$……(*);

再$(5)-(3)$得:$3(c-a)=(a+b-c-d)g_1(x,y)>0$,故$a+b-c-d>0$,$b-d>c-a>0$,故$b>d$,

      由(*)式得:$c>a>b>d$……(**);

继续$(4)-(1)$得:$3(b-d)=(d+e-b-c)g_2(x,y)>0$,故$d+e-b-c>0$,$e-c>b-d>0$,故$e>c$,

     由(**)式得:$e>c>a>b>d$……(***);

最后$(2)-(5)$得:$3(e-c)=(c+d-e-a)g_3(x,y)>0$,故$c+d-e-a>0$,$d-a>e-c>0$,故$d>a$

     这与由(***)式:$a>$$b$$>d$矛盾。

故假设$a>b$不成立,同理也可得,假设$b>a$也不成立,于是$a=b$。

同理,$a=b=c=d=e$。

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回复 25# 其妙
是不是像长篇大论,吓坏了吧

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原书没过程和答案啊?
其妙 发表于 2013-9-25 17:50



   
单老师的解法就是14楼的方法(书中附的答案)。

你的解法应该也行,粗看一下。



此是完美解决,人多力量大啊

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是的,太长了,看不下去。

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