求5元5次方程的全部实数解

isee

单墫一本小册子上看到的，解了解，似乎不好着手，丢来大家一起看看。

求方程组
$\left\{\begin{aligned}
(x_1+x_2+x_3)^5&=3x_4\\
(x_2+x_3+x_4)^5&=3x_5\\
(x_3+x_4+x_5)^5&=3x_1\\
(x_4+x_5+x_1)^5&=3x_2\\
(x_5+x_1+x_2)^5&=3x_3
\end{aligned}\right.$
的所有实数解。

零定义

回复 1# isee
感觉与一个一元五次方程的韦达定理有关...莫非是错觉？

零定义

回复 2# 零定义
额...还是想不到咋么弄...
令$u_1=x_1+x_2+x_3,u_2=x_2+x_3+x_4,u_3=x_3+x_4+x_5,u_4=x_4+x_5+x_1,u_5=x_5+x_1+x_2$，则
$\left\{\begin{aligned}
u_1^5&=-u_1+2u_2-u_3+2u_4-u_5\\
u_2^5&=-u_1-u_2+2u_3-u_4+2u_5\\
u_3^5&=2u_1-u_2-u_3+2u_4-u_5\\
u_4^5&=-u_1+2u_2-u_3-u_4+2u_5\\
u_5^5&=2u_1-u_2+2u_3-u_4-u_5
\end{aligned}\right.$
好整齐的线性...但感觉还是木用...

其妙

回复 3# 零定义
行列式？系数矩阵

其妙

（0,0,0,0,0）显然是解。  $(\dfrac13,\dfrac13,\dfrac13,\dfrac13,\dfrac13)$也是解。

$(-\dfrac13,-\dfrac13,-\dfrac13,-\dfrac13,-\dfrac13)$还是解？

睡神

回复 5# 其妙
关键是除了这三组还有没有其它解？

realnumber

会不会用反证法证明无其它解，
要不先证明一个猜想：1楼的方程组没有这样的解$x_1x_2x_3x_4x_5<0$.

零定义

回复 7# realnumber
这个猜想明显是不对的，因为显然有$x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=-\dfrac{1}{3}$

isee

看来，此题入手点真是不容易了

realnumber

我说错了，猜测根的符号都相同

其妙

看来，此题入手点真是不容易了
isee 发表于 2013-9-25 16:19

原书没过程和答案啊？

realnumber

按这个思路，设$3x_i=t_i,i=1,2,3,4,5$
由楼上结果只需要证明$(t_1,t_2,t_3,t_4,t_5)$只有三组解答，
先用反证法证明$t_1,t_2,t_3,t_4,t_5$同号
假设$t_1,t_2,t_3,t_4,t_5$有异号，假设$t_1>0$,观察$(\frac{t_3+t_4+t_5}{3})^5=t_1$，若$t_1,t_3,t_4,t_5$都大等于0，则由1楼第四个方程可得$t_2>0$,这与假设矛盾，可见$t_1,t_3,t_4,t_5$中有异号，如此，由$(\frac{t_3+t_4+t_5}{3})^5=t_1$可得，$t_3,t_4,t_5$中存在某个$t_i,t_i>t_1$,假如是$t_3>t_1$,则类似由1楼第5个方程得到存在$t_j>t_3$,如此进行下去，最多4次，会出现$t_1>t_1$,矛盾，可见$t_i,i=1,2,3,4,5$同号。
不妨考虑正根情况（负根可以作代换$t_i$,换为$-t_i$）,以下证明只有1这样的根，假设$t_1>1$,这由$(\frac{t_3+t_4+t_5}{3})^5=t_1$，$t_3,t_4,t_5$中存在大于1的数，
----卡住了，先发着，=会继续想

其妙

这种题是不是可以两两作差，得到$C_5^2=10$个等式，然后假定$x_1>x_2$，再在$10$个等式中选取若干个，就会得到$x_1<x_2$，于是只有$x_1=x_2$，
同理，$x_1=x_2=x_3=x_4=x_5$

realnumber

西西(243**63) 2013-9-25 16:45:12
设$x_1=max\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\}, 则 3x2=(x_1+x_4+x_5)^5>=(x_3+x_4+x_5)^2=3x1
即x_1=x_2$
则由此得$x_1=x_2=x_3=x_4=x_5$.
----似乎已经解决了，大家检查下

零定义

回复 14# realnumber
厉害啊！！！佩服！！！

kuing

原来是不等式题……早知道就多想想……

realnumber

回复 15# 零定义


    14楼转的是西西的解答，看仔细了

其妙

求方程组的所有实数解。下标写起来太难写了，改一下
\begin{aligned}
(a+b+c)^5&=3d…………(1)\\
(b+c+d)^5&=3e…………(2)\\
(c+d+e)^5&=3a…………(3)\\
(d+e+a)^5&=3b…………(4)\\
(e+a+b)^5&=3c…………(5)
\end{aligned}
可以利用这个式子：$x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)$，
其中$g(x,y)=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4=(x+y)(x^3+y^3)+x^2y^2\geqslant0$
或者$g(x,y)=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4=(x+y)^2(x^2-xy+y^2)+x^2y^2\geqslant0$
当然也可以直接利用$f(t)=t^5$的单调性。

利用公式$x^5-y^5=(x-y)g(x,y)$，其中$x>0,y>0,g(x,y)=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4=(x+y)^2(x^2-xy+y^2)+x^2y^2>0$，

先假设$a>b$，则$(3)-(4)$得：$3(a-b)=(c-a)g(x,y)>0$，$c-a>0$，故$c>a>b$……（*）；

再$(5)-(3)$得：$3(c-a)=(a+b-c-d)g_1(x,y)>0$，故$a+b-c-d>0$，$b-d>c-a>0$，故$b>d$，

      由（*）式得：$c>a>b>d$……（**）；

继续$(4)-(1)$得：$3(b-d)=(d+e-b-c)g_2(x,y)>0$，故$d+e-b-c>0$，$e-c>b-d>0$，故$e>c$，

     由（**）式得：$e>c>a>b>d$……（***）；

最后$(2)-(5)$得：$3(e-c)=(c+d-e-a)g_3(x,y)>0$，故$c+d-e-a>0$，$d-a>e-c>0$，故$d>a$，

     这与由（***）式:$a>$$b$$>d$矛盾。

故假设$a>b$不成立，同理也可得，假设$b>a$也不成立，于是$a=b$。

同理，$a=b=c=d=e$。

Tesla35

回复 18# 其妙


昨天我是按照你这个方程输入到了wolframalpha里计算，算了半天，没有结果。。。

kuing

回复 19# Tesla35

正常，软件估计在消元神马的，算死它……