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[几何] 根据奥运五环编的题

QQ截图20140515143041.png
2014-5-16 17:41
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8个圆,有点意思。

附个解答来看看。

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自编的题我是没有发解答的习惯,解答在脑中,会做的可以和我交流,只是想看解答的,我通常都无视!

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有点意思,题主不知道从何书化来,贴个背景交流一下:)

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有点意思,题主不知道从何书化来,贴个背景交流一下:)
郝酒 发表于 2014-5-18 18:29

一晃眼看成:施主不知从何处化缘来,……

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闲来无事想了下这道题,发现并没有想象中那么难。(总是深夜灵感好……

首先把“五环”这个吓人的外壳解开,为此,先打开《撸题集》翻到第 57 至 58 页题目 1.2.14,由该题及我的证明的开头可以知道有以下结论:

如左图,圆 `O_1`, `O_2` 为相交定圆,`P_1`, `P_2` 为动点且直线 `P_1P_2` 经过两圆的某个交点,则两动点在各自的圆上的角速度相等。

5h1.png
2018-9-22 03:06
  
5h2.png
2018-9-22 03:06


由此立得推论:如右图,若 `P_1`, `P_3` 运动时保持弧 `P_1P_3` 为定值,则弧 `P_2P_4` 也为定值。
(注:此推论中两线段相交与否都无所谓)

回到原题,先看前两个圆,可看作上述推论中的 `P_1`, `P_3` 重合为 `P`,即弧 `P_1P_3` 恒为零,所以弧 `I_1J_1` 为定值,然后接着对后面的圆链不断使用推论,即得弧 `I_iJ_i`(`i=1`, `2`, `3`, `4`)均为定值。

5h3.gif
2018-9-22 03:01

(注:由于推论中两圆的半径不必相等,因此原题中的圆半径也不必相等,所以上图我画得很随意,有大有小的)

现在看最后一个圆,因为 `Q`, `R` 是定点,则由弧 `I_4J_4` 为定值可知直线 `RJ_4` 到直线 `QI_4` 的到角为定值,设两直线的交点为 `X`,那么 `X` 的轨迹是一个圆,并且这个圆经过 `Q`, `R`(上图中的红色虚线圆),这样,问题最终化归为如下命题:

定圆上有两定点 `Q`, `R` 及一动点 `X`,直线 `XQ`, `XR` 分别交定直线 `L_0` 于 `M`, `N`,求证以 `MN` 为直径的圆与两定圆相切(或过两定点)。

5h4.png
2018-9-22 03:06


至此,“五环”外壳成功解开,然而剩下的这个命题也并不容易证明,时间关系明天待续……
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复 6# kuing

开壳后,简洁多了

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回复 6# kuing

续:现在来证剩下那命题,几何法暂时找不到,上代数吧……

通过代数计算我发现:当 `Q`, `R` 位于 `L_0` 同侧时命题成立,但是如果位于异侧,用几何画板画了下似乎并不成立,如果真是如此,那原题也需要补上同侧的条件。

下面假定 `Q`, `R` 位于 `L_0` 同侧,建系使 `L_0` 为 `y` 轴,设 `Q(x_1,y_1)`, `R(x_2,y_2)`,则 `x_1x_2>0`,设直线 `XQ`, `XR` 的斜率分别为 `k_1`, `k_2`,依题设,由到角公式,有\[\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}=c\]为定值,易得 `M`, `N` 的纵坐标分别为
\begin{align*}
y_M&=y_1-k_1x_1,\\
y_N&=y_2-k_2x_2,
\end{align*}
以 `MN` 为直径的圆的方程为
\[x^2+\left(y-\frac{y_M+y_N}2\right)^2=\left(\frac{y_M-y_N}2\right)^2,\]
下面证明此圆与以下两圆相切
\[\left( x\pm\frac1c\sqrt{(c^2+1)x_1x_2} \right)^2+\left( y-\frac{y_1+y_2}2-\frac{x_1-x_2}{2c} \right)^2=\left( \frac{y_2-y_1}2-\frac{x_1+x_2}{2c} \right)^2,\]
利用结论:圆 `(x-a_1)^2+(y-b_1)^2=r_1^2` 与圆 `(x-a_2)^2+(y-b_2)^2=r_2^2` 相切的充要条件是
\[\bigl((a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2-r_1^2-r_2^2\bigr)^2=4r_1^2r_2^2,\]
将以上数据代入上式展开后可知的确成立(过程略(其实就是交给MMC,上面那方程也是靠MMC算出来的)),即得证。
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回复 9# huing

thanks,原来已经有过这么多讨论了,有空再慢慢看看

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回复 6# kuing


圆能中秋节硬扯点关系,也算是中秋节贺题

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回复 9# huing
kuing的兄弟来了

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回复 10# kuing
为了便于您阅读那的帖子,进行了一定的编辑,从6页删减为了3页,并加了几个图,改正了一些错误。

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