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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
高等数学讨论
» 求$\dfrac{a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1}n$极限
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其妙
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发表于 2014-5-14 14:18
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求$\dfrac{a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1}n$极限
若$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n=a$,$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}b_n=b$,求$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1}n$的值。
要有严密过程。
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妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!
tommywong
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发表于 2014-5-14 22:03
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$a_n=a+o(n),b_n=b+o(n)$
$\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{r=1}^n a_rb_{n+1-r}=\frac{1}{n}\sum_{r=1}^n (a+o(n))(b+o(n))=(a+o(n))(b+o(n))\rightarrow ab (n\rightarrow \infty)$
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发表于 2014-5-14 22:37
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tommywong
答案是对了,
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发表于 2014-5-14 23:04
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呃......这步有点问题
$\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{r=1}^n (a+o(n))(b+o(n))=(a+o(n))(b+o(n))$
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发表于 2014-5-15 13:14
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tommywong
特殊的无穷小还是可以得到答案的
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tommywong
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发表于 2014-5-15 13:31
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本帖最后由 tommywong 于 2014-5-15 13:33 编辑
第一步就错了,我重新做一遍
$a_n=a+c_n,b_n=b+d_n$,若$a_n,b_n,c_n,d_n$有界
$\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{r=1}^n a_rb_{n+1-r}=\frac{1}{n}\sum_{r=1}^n (a+c_r)(b+d_{n+1-r})=\frac{1}{n}\sum_{r=1}^n (ab+ad_{n+1-r}+bc_r+c_rd_{n+1-r})$
$\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{r=1}^n (ab+ad_r+bc_r+c_rk_1) \le \frac{1}{n}\sum_{r=1}^n (ab+ad_r+bc_r+c_rd_{n+1-r}) \le \frac{1}{n}\sum_{r=1}^n (ab+ad_r+bc_r+c_rk_2)$
$\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{r=1}^n (ab+ad_r+bc_r+c_rk_1)=\sum_{r=1}^{n+1} (ab+ad_r+bc_r+c_rk_1)-\sum_{r=1}^n (ab+ad_r+bc_r+c_rk_1)=ab$
$\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{r=1}^n (ab+ad_r+bc_r+c_rk_2)=\sum_{r=1}^{n+1} (ab+ad_r+bc_r+c_rk_2)-\sum_{r=1}^n (ab+ad_r+bc_r+c_rk_2)=ab$
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pxchg1200
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发表于 2014-6-4 08:53
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好久没回来了,现在就用传说中的CS来弄弄看,我们先证明$a=b=0$的情况,这时得到
\[ \lim_{n\to+\infty}a^{2}_{n}=\lim_{n\to+\infty}b^{2}_{n}=0 \]
O.Stolz后就有
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}{n}= \lim_{n\to+\infty}\frac{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2}}{n}=0\]
现在,运用Cauchy-Schwarz inequality,就有
\[ 0\leq \left(\frac{a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\cdots+a_{n}b_{1}}{n}\right)^{2}\leq \left(\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}{n}\right)\left(\frac{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2}}{n}\right)\]
显然有
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\cdots+a_{n}b_{1}}{n}=0 \]
对于$a$,$b$不为$0$的情况,只要用$(a_{n}-a)$,$(b_{n}-b)$替换$a_{n}$,$b_{n}$就好!
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其妙
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发表于 2014-6-4 09:31
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pxchg1200
欢迎回归!px果然是C-S大牛!
这种一般的结论常常可以化归为特殊情况(例如零,叫归零法?)来解,妙!
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青青子衿
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发表于 2020-9-11 16:14
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本帖最后由 青青子衿 于 2020-9-11 16:31 编辑
因为\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n=a\),则\(\,a_n\,\)有界. 不妨设\(\,\big|a_n\big|\leqslant\,\!M\),则对于任意的\(\,k=1,2,\cdots,n\,\),有
\begin{align*}
\left|a_kb_{n-k+1}-ab\right|&=\left|a_kb_{n-k+1}-a_kb+a_kb-ab\right|\\
&=\left|b\left(a_k-a\right)+a_k\left(b_{n-k+1}-b\right)\right|\\
&\leqslant\Big|\,b\,\Big|\Big|a_k-a\Big|+\Big|a_k\Big|\Big|b_{n-k+1}-b\Big|\\
&\leqslant\Big|\,b\,\Big|\Big|a_k-a\Big|+M\Big|b_{n-k+1}-b\Big|\\
\end{align*}
于是
\begin{align*}
&\quad\,\left|\dfrac{a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1}n-ab\right|=\left|\dfrac{a_1b_n-ab+a_2b_{n-1}-ab+\cdots+a_nb_1-ab}{n}\right|\\
&\leqslant\dfrac{\Big|a_1b_n-ab\Big|+\Big|a_2b_{n-1}-ab\Big|+\cdots+\Big|a_nb_1-ab\Big|}{n}\\
&\leqslant\dfrac{b}{n}\left(\Big|a_1-a\Big|+\Big|a_2-a\Big|+\cdots+\Big|a_n-a\Big|\right)+\dfrac{M}{n}\left(\Big|b_n-b\Big|+\Big|b_{n-1}-b\Big|+\cdots+\Big|b_1-b\Big|\right)\\
\end{align*}
又因为\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n=a\)与\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}b_n=b\),则有\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\Big|a_n-a\Big|=0\)与\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\Big|b_n-b\Big|=0\).
根据柯西平均值命题,有
\begin{align*}
&\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\sum\limits_{k=1}^n\Big|a_k-a\Big|}{n}=0\\
&\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\sum\limits_{k=1}^n\Big|b_{n-k+1}-b\Big|}{n}=0
\end{align*}
故
\begin{align*}
&\lim_{n\to+\infty}\left|\dfrac{a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1}n-ab\right|\\
={}&b\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\sum\limits_{k=1}^n\Big|a_k-a\Big|}{n}+M\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\sum\limits_{k=1}^n\Big|b_{n-k+1}-b\Big|}{n}=0
\end{align*}
因此
\[ \color{\black}{\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\cdots+a_{n}b_{1}}{n}=ab} \]
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青青子衿
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发表于 2020-9-12 10:07
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本帖最后由 青青子衿 于 2020-9-12 16:44 编辑
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其妙
参见徐森林的《数学分析精选习题全解(上册)》P3~4 例题 2
裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法(第2版)》P39 例 1.3.7
李克典的《数学分析选讲》P8~9 例2
2004年中国科学院数学分析第4题(15分)
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2020-9-12 10:07
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