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好久没出题了,来一发

本帖最后由 战巡 于 2014-5-10 12:07 编辑


好吧其实还是我们作业的题.......


A、B两人合作清理一间房子,A从厨房开始清理,B从卧室开始清理,其中A完成厨房清理所用时间$T_{A1}\sim EXP(2)$,B完成卧室清理所用时间$T_{B1}\sim EXP(1.5)$
无论谁先清理完自己的部分,都会到屋外的小院清扫树叶,而没做完的继续做,此时无论A还是B,他们独自完成树叶清扫的时间都是$T_{A2}, T_{B2}\sim EXP(1)$
而如果另一个人完成了清理工作,而清扫树叶工作还未结束的话,两人会一起清扫树叶,此时完成的时间$T_{AB2}\sim EXP(2)$
当树叶清扫完成后,全部清理完成

求全部完成所需时间的均值

注:此处的指数分布参数表示如下:
\[X\sim EXP(\lambda)\]
\[f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x>0\]
\[E(X)=\frac{1}{\lambda}\]

来一发

原来你还有作业……

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指数分布?$E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$,$D(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}$,

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回复 3# 其妙
指数分布?$E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$,$D(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}$,
其妙 发表于 2014-5-10 15:16

0-1分布
超几何分布
二项分布
正态分布
均匀分布
泊松分布
指数分布

咋滴~\(≧▽≦)/~啦啦啦( ⊙o⊙ )?布有这么多种分法呀( ⊙ o ⊙ )!

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原来还没有做,无视分布算算看
T(A1)=1/2,T(B1)=2/3
T(A2)=T(B2)=1,T(AB2)=1/2
A用1/2时间完成厨房清理,B还有1/6时间完成卧室清理
这时A独自清扫树叶,完成了工作的1/6
两人一起清扫5/6的树叶,用了5/12
2/3+5/12=13/12

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$\displaystyle T=max\{T_{A1},T_{B1}\}+(1-\frac{|T_{A1}-T_{B1}|}{T_{A2}})T_{AB2}$

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本帖最后由 tommywong 于 2014-9-20 11:32 编辑

$\displaystyle E(max\{T_{A1},T_{B1}\})=\frac{1}{2}+\frac{1}{1.5}-\frac{1}{2+1.5}=\frac{37}{42}$

$\displaystyle E(|T_{A1}-T_{B1}|)=E(2max\{T_{A1},T_{B1}\}-T_{A1}-T_{B1})=\frac{37}{21}-\frac{1}{2}-\frac{1}{1.5}=\frac{25}{42}$

$\displaystyle E(T)=\frac{37}{42}+(1-\frac{25}{42})\frac{1}{2}=\frac{13}{12}$

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果然布是没有用的

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本帖最后由 战巡 于 2014-9-25 10:22 编辑

回复 1# 战巡


果然还是太烦人了点,现在都没人做出来,这本来是个随机过程的题目,如果没有相关知识只靠常规方法的话确实非常麻烦

5、7楼那个着实胡闹
公布答案吧:

首先建立7个状态:
1、A、B两人都在清理
2、A完成清理,B未完
3、B完成清理,A未完
4、A、B都完成清理,共同扫树叶
5、A扫完树叶B还没清理完
6、B扫完树叶A还没清理完
7、全部完成

这样就可以确定跳跃率矩阵$Q$各元素的值了
其中从1到2,跳跃率$Q_{1,2}=E(T_{A1})=2$,反过来不可能从状态2跳到状态1,故$Q_{2,1}=0$
对角线上$Q_{i,i}=-\sum_{j\ne i}Q_{i,j}$,也就是保证对每一行有$\sum_{j=1}^7Q_{i,j}=0$
于是最后可知跳跃率矩阵为:
\[Q=\begin{pmatrix}-\frac{7}{2} & 2 & \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -\frac{5}{2} & 0 & \frac{3}{2} & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 2\\0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{3}{2} & 0 & \frac{3}{2}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]
这个矩阵最后一行全为0,显然很奇怪,实际上状态7是个无用的东西,它只是最终用来确定完成的而已,所以计算时删掉这行就好了
令矩阵:
\[R=\begin{pmatrix}-\frac{7}{2} & 2 & \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\0 & -\frac{5}{2} & 0 & \frac{3}{2} & 1 & 0 \\0 & 0 & -3 & 2 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{3}{2} & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}\]
则有每个状态到最后的状态7的平均时间为:
\[g=-R^{-1}·1=\begin{pmatrix} \frac{251}{210}\\ \frac{29}{30} \\ \frac{5}{6} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}\]
也就是说,从状态1,即一开始,到状态7,即全部完成,平均时间为这个向量的第一项,也就是$\frac{251}{210}$

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回复 9# 战巡

......$E(T_{A1})=2$?

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お?最后三行不像有错的样子,战巡好厉害

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