[数列] 来自某教师群的数列求通项

kuing

广州 Miss W***(4131****) 2014-4-18 12:08:45
【求教】

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2014-4-18 14:22

各位大侠谢谢~

我做得很复杂，大家也来看看有没有简单解法（先猜后证除外）。

下面是我的解法。
由 $a_{n+1}^2+a_{n+2}a_n=6^n$ 得
\[a_{n+2}^2+a_{n+3}a_{n+1}=6^{n+1}=6(a_{n+1}^2+a_{n+2}a_n),\]
即
\[a_{n+2}(a_{n+2}-6a_n)+a_{n+1}(a_{n+3}-6a_{n+1})=0,\]
先不顾有没有 $0$，将其变形为
\[\frac{a_{n+2}-6a_n}{a_{n+1}}+\frac{a_{n+3}-6a_{n+1}}{a_{n+2}}=0,\]
于是
\[\frac{a_{n+2}-6a_n}{a_{n+1}}=(-1)^{n-1}\frac{a_3-6a_1}{a_2},\]
容易计算出 $a_3=-19$，故
\[\frac{a_{n+2}-6a_n}{a_{n+1}}=(-1)^{n-1}\frac{-19-6}5=(-1)^n\cdot 5,\]
即
\[a_{n+2}-6a_n=(-1)^n\cdot 5a_{n+1},\]
注意到上式可以配凑为以下两式
\begin{align*}
a_{n+2}+2(-1)^{n+1}a_{n+1}&=3(-1)^n(a_{n+1}+2(-1)^na_n), \\
a_{n+2}+3(-1)^{n+1}a_{n+1}&=2(-1)^n(a_{n+1}+3(-1)^na_n),
\end{align*}
两式相除得
\[\frac{a_{n+2}+2(-1)^{n+1}a_{n+1}}{a_{n+2}+3(-1)^{n+1}a_{n+1}} =\frac32\cdot\frac{a_{n+1}+2(-1)^na_n}{a_{n+1}+3(-1)^na_n},\]
于是
\[\frac{a_{n+1}+2(-1)^na_n}{a_{n+1}+3(-1)^na_n} =\left( \frac32 \right)^{n-1}\frac{a_2-2a_1}{a_2-3a_1}=\left( \frac32 \right)^n,\]
整理得到
\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=(-1)^{n+1}\frac{3^{n+1}-2^{n+1}}{3^n-2^n},\]
所以
\[a_n=(-1)^n\frac{3^n-2^n}{3^{n-1}-2^{n-1}}\cdot (-1)^{n-1}\frac{3^{n-1}-2^{n-1}}{3^{n-2}-2^{n-2}}\cdots (-1)^2\frac{3^2-2^2}{3^1-2^1}\cdot a_1=(-1)^{n(n+1)/2-1}(3^n-2^n).\]


PS、上述结果经软件检验过前1000项均成立。

kuing

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Mathematica检验方法
i = 1;
a[1] = 1;
a[2] = 5;
Do[{a[i + 2] = (6^i - a[i + 1]^2)/a[ i ], i++}, {1000}]
Table[a[n] - (-1)^(n (n + 1)/2 - 1) (3^n - 2^n), {n, 1, 1000}]
输出结果全是0，所以前1000项的结果是正确的

其妙

回复 2# kuing
可不可以改成那个什么qb的程序？

kuing

回复 3# 其妙

不懂那个……

kuing

发现原来还是可以消掉 $(-1)^n$ 的。

在得到 $a_{n+2}-6a_n=(-1)^n\cdot 5a_{n+1}$ 后，为了消去 $(-1)^n$，我们待定 $a_n=(-1)^{f(n)}b_n$，其中 $f(n)$ 恒为整数。

代入后我们需要 $f(n+2)$, $f(n)$, $f(n+1)+n$ 三者之间的差模 $2$ 后都为常数，这样才能约掉，尝试 $f(n)$ 取一次函数后发现不可能实现，而尝试二次函数时，设 $f(n)=xn^2+yn$，则 $f(n+2)-f(n)=4xn+4x+2y$, $f(n+1)+n-f(n)=(2x+1)n+x+y$，这样我们可以取 $x=-1/2$, $y=1/2$，此时 $f(n+2)-f(n)=-2n-1\equiv 1\pmod2$, $f(n+1)+n-f(n)=0$，而且 $f(n)$ 也恒为整数，这样就符合要求了。

写下来就是：
令 $a_n=(-1)^{-n(n-1)/2}b_n$，则
\begin{align*}
a_{n+2}-6a_n=(-1)^n\cdot 5a_{n+1}
&\iff (-1)^{-(n+2)(n+1)/2}b_{n+2}-6(-1)^{-n(n-1)/2}b_n =5(-1)^{-(n+1)n/2+n}b_{n+1}\\
&\iff (-1)^{-n(n-1)/2-2n-1}b_{n+2}-6(-1)^{-n(n-1)/2}b_n =5(-1)^{-n(n-1)/2}b_{n+1}\\
&\iff -(-1)^{-n(n-1)/2}b_{n+2}-6(-1)^{-n(n-1)/2}b_n =5(-1)^{-n(n-1)/2}b_{n+1}\\
&\iff b_{n+2}+5b_{n+1}+6b_n=0,
\end{align*}
由$b_1=1$, $b_2=-5$，用特征根的方法，容易求出
\[b_n=-(-3)^n+(-2)^n,\]
所以
\[a_n=(-1)^{-n(n-1)/2+1}\bigl((-3)^n-(-2)^n\bigr)
=(-1)^{-n(n-1)/2+1-n}(3^n-2^n)=(-1)^{-n(n+1)/2+1}(3^n-2^n),\]
结果是相同的。

其妙

回复 5# kuing
我也是短暂思考了一下这个$(-1)^n$问题，不同的是kk钻研进去，并找到了解决办法，