[数论] 证明方程：［x］+［2x］+［4x］+［8x］+［16x］=12345有实数解

realnumber

学生-original (1－－－430)  20:41:14
证明方程：［x］+［2x］+［4x］+［8x］+［16x］=12345有实数解。

爱好者-fungarwai(259－－496)  20:43:57
398.25
教师 realnumber<ria－－－－om>  20:52:52
设计{x}=t,[x]=s,x=s+t,0<=t<1
(1+2+4+8+16)s+[2t]+[4t]+[8t]+[16t]=12345
0<[2t]+[4t]+[8t]+[16t]<=1+3+7+15=26
所以12319<=31s<12345,得s=398
接下来确定t,[2t]+[4t]+[8t]+[16t]=7
教师 realnumber<ri－－－－om>  20:56:27
t应该是个范围，你尝试下t在区间[0,1/16),
[1/16,2/16),.....应该可以找到需要的区间吧，后面不做了

realnumber

[2t]：[4t]：[8t]：[16t]大概是1：2：4：8
当t∈[4/16，5/16）时，
[2t]=0，[4t]=1，[8t]=2，[16t]=4，和是7
教师 realnumber<rian－－－om>  21:48:28
现在问题修改为[2t]+[4t]+[8t]+[16t]=9，又如何？

战巡

回复 1# realnumber

逐步逼近就行了啊
\[[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]=12345\]
\[x-1+2x-1+4x-1+8x-1+16x-1\le 12345\le x+2x+4x+8x+16x\]
可得
\[\frac{12345}{31}\le x\le \frac{12350}{31}\]
为了方便，这里换成近似小数，后面也会这样做，可知有：
\[\begin{cases}398.226\le x\le 398.387 \\ 796.452\le 2x\le 796.774 \\1592.9\le 4x\le 1593.55 \\ 3185.81\le 8x \le 3187.1 \\ 6371.61\le 16x \le 6374.19 \end{cases}\]
这里面后面三个跨了整数，先不考虑，但前面$[x]=398, [2x]=796$是确定的，令$4x=y$，原式变成
\[398+796+[y]+[2y]+[4y]=12345\]
\[[y]+[2y]+[4y]=11151\]
\[y-1+2y-1+4y-1\le 11151\le y+2y+4y\]
\[1593\le y\le \frac{11154}{7}\]
\[\begin{cases}1593\le y\le 1593.43\\ 3186\le 2y\le 3186.86\end{cases}\]
可知$1593+3186+[4y]=11151$，$[4y]=6372$
于是有
\[[4y]=[16x]=6372, x\in[398.25, 398.3125)\]