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[数列] 数列放缩题

3.jpg
2014-4-8 13:58
(此题我已证明,但证明过程比较复杂,希望能学习简洁的证明)
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$f(x)=x^3+x/n-1$,则 $f(x)$ 递增,$f(0)<0<f(1)$,故 $0<a_n<1$,从而
\[\frac1{(k+1)^2a_k}=\frac{a_k^2+\frac1k}{(k+1)^2}<\frac{1+\frac1k}{(k+1)^2}=\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1},\]
下略

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谢谢kuing,kuing能否看下我发的另外两个数列题,那两题我还没搞定!

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回复 3# 等待hxh

看肯定会看,搞定了自然也会发答案……

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变态的一组题,一个不会

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回复 1# 等待hxh
请传上你的证明

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原来旧论坛也出现过这道题 http://kkkkuingggg.haotui.com/thread-641-1-7.html

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印象中广州2013年二模考过一个类似的:
已知$a_n$是函数$f(x)=x^3+na_n-1$的零点,$n\in N^*$
(1)求证:$0<a_n<1$;
(2)求证:$\frac{n}{n+1}<a_1+a_2+\cdots+a_n<\frac{3}{2}$.

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