踏歌而来

2014-4-5 19:08

果真如此！

kuing

我还是写一下过程吧。

$a$, $b$, $c>0$, $abc=1$
\[
\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac{\lambda}{a+b+c}\geqslant 9
\iff \lambda \geqslant (9-ab-bc-ca)(a+b+c),
\]
于是等价于求 $(9-ab-bc-ca)(a+b+c)$ 的最大值。

由对称性，不妨设 $c\leqslant b\leqslant a$，则由 $abc=1$ 知 $c\leqslant 1$。

（1）若 $c<1/9$，则 $ab>9$，此时 $(9-ab-bc-ca)(a+b+c)<0$；

（2）若 $1/9\leqslant c\leqslant 1$，则
\begin{align*}
(9-ab-bc-ca)(a+b+c)&=c\left( \frac9c-\frac1{c^2}-a-b \right)(a+b+c) \\
& \leqslant \frac c4\left( \frac9c-\frac1{c^2}-a-b+a+b+c \right)^2 \\
& =\frac c4\left( \frac9c-\frac1{c^2}+c \right)^2,
\end{align*}
令
\[f(c)=\frac c4\left( \frac9c-\frac1{c^2}+c \right)^2,\quad\frac19\leqslant c\leqslant 1,\]
下面求 $f(c)$ 的最大值，求导并因式分解得
\[f'(c)=\frac{3(c^3-3c+1)(c^3+9c-1)}{4c^4},\]
由 $c\geqslant 1/9$ 知 $c^3+9c-1>0$，又易证 $g(c)=c^3-3c+1$ 在 $[1/9,1]$ 上递减且 $g(1/9)g(1)<0$，于是 $c^3-3c+1=0$ 在 $[1/9,1]$ 上有且只有一个解，记此解为 $c_0$（它的值约为$0.347$），于是得到
\[f(c)_{\max}=f(c_0)\approx 28.04.\]

综合（1）（2），我们得到了 $(9-ab-bc-ca)(a+b+c)\leqslant f(c_0)$。

最后我们来验证取等条件，当 $b=c=c_0$ 且 $a=1/c_0^2$ 时，有
\begin{align*}
(9-ab-bc-ca)(a+b+c)- f(c_0)&=\left(9-\frac2{c_0}-c_0^2\right)\left(\frac1{c_0^2}+2c_0\right) - \frac{c_0}4\left( \frac9{c_0}-\frac1{c_0^2}+c_0 \right)^2\\
&=\frac{9(c_0^3-3c_0+1)^2}{4c_0^3}\\
&=0.
\end{align*}

综上，我们得到了 $(9-ab-bc-ca)(a+b+c)$ 的最大值为 $f(c_0)$，即 $\lambda $ 的最小值为 $f(c_0)\approx 28.04$。

至于将 $f(c_0)$ 化为某个多项式的根，可以用结式去做，结果就是我前面给出的 $x^3 - 24x^2 - 537x + 11881 = 0$，具体过程这里就不扯了，反正也没什么用。

kuing

刚才写错了一点，改正了一下，煮饭去了……

其妙

回复 24# kuing
膜拜！发个邮件投到《数学通讯》那里去，没准会采用你的稿件呢！
最好写上你的头衔：……

其妙

回复 21# 踏歌而来
你这是啥软件？学习学习！

kuing

回复  kuing
膜拜！发个邮件投到《数学通讯》那里去，没准会采用你的稿件呢！
最好写上你的头衔：…… ...
其妙 发表于 2014-4-5 21:25

算了吧，就这点小东西，有啥好投的……

踏歌而来

回复 26# 其妙


    MathCAD软件。

踏歌而来

回复 27# kuing

可以发一下，因为你纠正了一个错误。
不过，你也可能因此得罪一个人。

kuing

回复 29# 踏歌而来

再次声明，原题目本身并没有错误，$\lambda$ 的确存在最小值，只不过其复杂程度可能超出了命题者意料。

踏歌而来

我是指你纠正了一个错误答案。

kuing

回复 31# 踏歌而来

原作者还没公布答案吧，我看了1楼博客链接里面的过程也是转发的，而且在那题前面也在问“下面的方法，对吗？”

力工

回复 10# 其妙

利用函数的单调性，得安老师所言情况中的k的范围为18<=k<=9/2，是不存在的。
后面我做哭了，出不来。

力工

回复 7# kuing
做跪了，搞不出来。我后面算得至少要比36大，当然是错误的方法下.不与k神比

其妙

回复  踏歌而来

原作者还没公布答案吧，我看了1楼博客链接里面的过程也是转发的，而且在那题前面也在问“ ...
kuing 发表于 2014-4-6 12:57

这是他后来更新了博客的，原来他没有写这段话，估计他也关注kk的论坛，因为kk已成为中国的一颗璀璨的星星，专家们都无法回避！

乌贼

回复 35# 其妙
你怎么知道的

kuing

回复 35# 其妙

哦，我是今天才进了链接。

其妙

回复 36# 乌贼
你看我1楼发的帖子时间呢？
博客不像论坛，有编辑痕迹

kuing

回复 38# 其妙

可惜我（论坛管理员）编辑的时候没有痕迹，这是论坛的奇巴设置，表面上好像对我有利，其实我很纳闷，这很容易引起误会。所以有时候我编辑过后要特别说明，更正的时候也要用叉叉起来……

其妙

回复 38# kuing
博客没有编辑痕迹的。

kuing

回复 39# 其妙

我没有理解错，不用重复强调这一点……