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[函数] 来自人教群的 $f(f(x))=1/x$

教师—C++(9802*****)  21:28:44
$\displaystyle f(f(x))=\frac1x$ 这个函数方程求解


话说,可不可以 $f(x)=x^i$ ?这里的 $i$ 是虚数单位

嘛,我知道你们肯定不能接受,那就换一个:
\[
f(x)=\begin{cases}
-x,&x>0,\\
-\frac1x,&x<0.
\end{cases}
\]
自己验证之……
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不知还没有别的类型,到你们玩了……

PS、像 $f(x)=\begin{cases}
x^2,&x<0,\\
-\frac1{\sqrt x},&x>0,
\end{cases}$ 之类的也算是1#的类型……
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没人玩?

将1#变一下:
\[
f(x)=\begin{cases}
-x,&(x>0\wedge x~\text{为有理数})\vee(x<0\wedge x~\text{为无理数})\\
-\frac1x,&(x<0\wedge x~\text{为有理数})\vee(x>0\wedge x~\text{为无理数}).
\end{cases}
\]
这样大概就在任何地方都不可导了……
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再续楼上:
那个虽然不可导,但仍然有两个地方连续,那就是在 $(1,-1)$ 和 $(-1,1)$ 两点处连续,于是再改一下:
\[f(x)=\begin{cases}
x,&x=\pm1,\\
-x,&(x>0\wedge x\ne1\wedge x~\text{为有理数})\vee(x<0\wedge x~\text{为无理数})\\
-\frac1x,&(x<0\wedge x\ne-1\wedge x~\text{为有理数})\vee(x>0\wedge x~\text{为无理数}).
\end{cases}\]
也就是挖空那两点,这样就没有任何一个地方连续了。

够无聊了我
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回复 4# kuing
你要构造狄利克雷函数嗦?
以后就命名为kuing函数了

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我把楼主的题目稍加改变一下,看能否解决:
是否存在定义在某区间上$I$内的连续函数,使得$f(f(x))$为单调递减(这里是指大学课本中的严格单调递减)函数?若存在,证明之,并构造满足题设条件的一函数;若不存在,请举出反例或证明之。
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回复 6# 007


    显然不存在,由$f(f(x))=\frac{1}{x}$可以看到$f(x)$是一个单射,而如果$f(x)$是连续的,那么必有严格的单调性,若$f$单调增,那么$f(f(x))$也必然会单调增,若$f$单调减,那么$f(f(x))$还是严格单调增,而$\frac{1}{x}$毫无疑问是单调递减的,所以是没连续解的
Let's solution say the method!

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回复 7# pxchg1200


    Very Good !  
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