[组合] 2013安徽高考数学第21题

踏歌而来

(2013安徽，理21)(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.
(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
(2)求使P(X＝m)取得最大值的整数m.

这道题的（2）小题，据说没有学生做对的。

踏歌而来

参考答案中写道：

当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者。

由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k位同学”所包含的基本事件总数为 .当X＝m时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k－m.仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m－k.由乘法计数原理知：事件{X＝m}所含基本事件数为

2014-3-29 20:33

。

我总觉得，基本事件数为 C$ \binom{m-k}{n}*C\binom{2k-m}{n}*C\binom{m-k}{n} $。
我错了吗？
请大师们指教！

踏歌而来

贴一张韦恩图：

2014-3-29 21:48

只收到李老师或张老师的信息的设为X，同时收到李老师和张老师的为Y。
显然 x ＋y＝K， x＋y＋x＝m。解得x＝m-k，y＝2k－m。

现在又觉得   应该是 $C\binom{k}{n}*C\binom{m-k}{n-k}$。

踏歌而来

觉得还应该去掉重复的部分，可能应该是：
$C\binom{k}{n}*C\binom{m-k}{n-k}*C\binom{2k-m}{k}$

假设n＝8，k＝5，m＝6，结果是840。
这么说来，参考答案 好像是正确的。

我还想到一种新的方式来表达：
$C\binom{m-k}{n}*C\binom{2k-m}{n-(m-k)}*C\binom{m-k}{n-k}。$
结果也是840。

踏歌而来

有位科技大的教授给的答案比较好。
我把所截的图发到下面。

2014-3-31 11:43

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