[数列] $1^6+2^6+3^6+....+n^6$的公式是？

realnumber

\[ \sum_{i=1}^{n} i^{1} = \frac{n(n+1)}{2},\sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ,\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2} \]
\[ \sum_{i=1}^{n} i^{4} = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} ,\sum_{i=1}^{n} i^{5} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}(2n^2+2n-1)}{12}\]
想偷懒，$\sum_{i=1}^{n} i^{6} =?$


这里计算出错，要验证更多的初始值．
http://kuing.orzweb.net/viewthre ... &extra=page%3D1

realnumber

度娘搜索到一个http://zhidao.baidu.com/link?url ... wHvr_6w6mnZgtQE3-0S
6：$\sum_{i=1}^{n} i^{6} =\frac{1}{42}(6n^7+21n^6+21n^5-7n^3+n) =\frac{1}{42}n(n+1)(2n+1)(3\,n^4+6\,n^3-3\,n+1)$                                                  
7：(3n^8+12n^7+14n^6-7n^4+2n^2)/24                                              (1^7+2^7+3^7+...+n^7)   
8：(10^9+45n^8+60n^7-42n^5+20n^3-3n)/90                                         (1^8+2^8+3^8+...+n^8)  
9：(2n^10+10n^9+15n^8-14n^6+10n^4-3n^2)/20                                      (1^9+2^9+3^9+...+n^9)              
10：(6n^11+33n^10+55n^9-66n^7+66n^5-33n^3+5n)/66                                (1^10+2^10+3^10+...+n^10)        
11：(2n^12+12n^11+22n^10-33n^8+44n^6-33n^4+10n^2)/24 　　　　　　　 (1^11+2^11+3^11+...+n^11)

kuing

上软件一行就搞定……Table[Sum[i^k, {i, 1, n}], {k, 1, 20}] // TraditionalForm

$\frac{1}{2} n (n+1)$

$\frac{1}{6} n (n+1) (2 n+1)$

$\frac{1}{4} n^2 (n+1)^2$

$\frac{1}{30} n (n+1) (2 n+1) (3 n^2+3 n-1)$

$\frac{1}{12} n^2 (n+1)^2 (2 n^2+2 n-1)$

$\frac{1}{42} n (n+1) (2 n+1) (3 n^4+6 n^3-3 n+1)$

$\frac{1}{24} n^2 (n+1)^2 (3 n^4+6 n^3-n^2-4 n+2)$

$\frac{1}{90} n (n+1) (2 n+1) (5 n^6+15 n^5+5 n^4-15 n^3-n^2+9 n-3)$

$\frac{1}{20} n^2 (n+1)^2 (n^2+n-1) (2 n^4+4 n^3-n^2-3 n+3)$

$\frac{1}{66} n (n+1) (2 n+1) (n^2+n-1) (3 n^6+9 n^5+2 n^4-11 n^3+3 n^2+10 n-5)$

$\frac{1}{24} n^2 (n+1)^2 (2 n^8+8 n^7+4 n^6-16 n^5-5 n^4+26 n^3-3 n^2-20 n+10)$

$\frac{1}{2730}n (n+1) (2 n+1) (105 n^{10}+525 n^9+525 n^8-1050 n^7-1190 n^6+2310 n^5+1420 n^4-3285 n^3-287 n^2+2073 n-691)$

$\frac{1}{420} n^2 (n+1)^2 (30 n^{10}+150 n^9+125 n^8-400 n^7-326 n^6+1052 n^5+367 n^4-1786 n^3+202 n^2+1382 n-691)$

$\frac{1}{90} n (n+1) (2 n+1) (3 n^{12}+18 n^{11}+24 n^{10}-45 n^9-81 n^8+144 n^7+182 n^6-345 n^5-217 n^4+498 n^3+44 n^2-315 n+105)$

$\frac{1}{48} n^2 (n+1)^2 (3 n^{12}+18 n^{11}+21 n^{10}-60 n^9-83 n^8+226 n^7+203 n^6-632 n^5-226 n^4+1084 n^3-122 n^2-840 n+420)$

$\frac{1}{510} n (n+1) (2 n+1) (15 n^{14}+105 n^{13}+175 n^{12}-315 n^{11}-805 n^{10}+1365 n^9+2775 n^8-4845 n^7-6275 n^6+11835 n^5+7485 n^4-17145 n^3-1519 n^2+10851 n-3617)$

$\frac{1}{180} n^2 (n+1)^2 (10 n^{14}+70 n^{13}+105 n^{12}-280 n^{11}-565 n^{10}+1410 n^9+2165 n^8-5740 n^7-5271 n^6+16282 n^5+5857 n^4-27996 n^3+3147 n^2+21702 n-10851)$

$\frac{1}{3990}n (n+1) (2 n+1) (105 n^{16}+840 n^{15}+1680 n^{14}-2940 n^{13}-9996 n^{12}+16464 n^{11}+48132 n^{10}-80430 n^9-167958 n^8+292152 n^7+380576 n^6-716940 n^5-454036 n^4+1039524 n^3+92162 n^2-658005 n+219335)$

$\frac{1}{840} n^2 (n+1)^2 (42 n^{16}+336 n^{15}+616 n^{14}-1568 n^{13}-4263 n^{12}+10094 n^{11}+22835 n^{10}-55764 n^9-87665 n^8+231094 n^7+213337 n^6-657768 n^5-236959 n^4+1131686 n^3-127173 n^2-877340 n+438670)$

$\frac{1}{6930}(330 n^{21}+3465 n^{20}+11550 n^{19}-65835 n^{17}+426360 n^{15}-2238390 n^{13}+8817900 n^{11}-24551230 n^9+44767800 n^7-47625039 n^5+24126850 n^3-3666831 n)$

realnumber

谢了kk........甚好，还有7次方的．

isee

3,4,5了，都，对6：
$(n+1)^6-n^6=\cdots$
累和

其妙

回复 3# kuing
牛笔！

青青子衿

回复 4# realnumber

谢了kk........甚好，还有7次方的．
realnumber 发表于 2014-3-27 18:29

http://zh.wikipedia.org/wiki/等幂求和

战巡

回复 1# realnumber

http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxs ... 0110728_1060497.htm
这里面提到过这个东西

另外：
http://kuing.orzweb.net/viewthre ... &extra=page%3D2
7楼
那个方法最近才开发出来的，所以没写进之前人教网刊那篇东西里

其妙

下载 (55.65 KB)

2014-3-30 11:52

下载 (71.52 KB)

2014-3-30 11:52

其妙

下载 (63.88 KB)

2014-3-30 11:54

下载 (86.12 KB)

2014-3-30 11:54

其妙

下载 (57.35 KB)

2014-3-30 12:00

下载 (105.59 KB)

2014-3-30 12:00

tommywong

自然数幂和通项公式证明的新方法
http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-NJSG201108006.htm

本文通过利用多项式根与系数的关系，将自然数幂和问题转化为线性方程组的求解问题，更浅显易懂．

其妙

回复 12# tommywong
无法下载。

战巡

回复 11# 其妙


这不就耍赖么，动用伯努利数，几百年前就已经搞出来了
本来伯努利数这种东西就是无赖型存在，把一个复杂的东西用特定符号代替了而已，并不能实际简化运算

其妙

复制别人的，仅供参考，我也没仔细看，

realnumber

感动中，收藏下~~~

isee

其妙转载的玩意，用组合数，事实上，操作起来……

探究自然数幂和通项公式的新方法及其应用 却是 高等数学，偶等，玩不起。

isee

结合一下，即：“将自然数幂和问题转化为线性方程组的求解问题”。

增广矩阵+高斯回代，比偶知到的幂累和，快速。

isee

来自 谈祥柏的 数学不了情

e.g.   $1^7+2^7+\cdots +n^7=$

下载 (82.58 KB)

2014-4-18 01:13

解释：

下载 (97.66 KB)

2014-4-18 01:15

结果：

下载 (194.75 KB)

2014-4-18 01:17

tommywong

其实这个方向值得试一下

$\displaystyle \frac{1}{m+1},\frac{1}{2},\frac{1}{12}C_m^1,0,\frac{-1}{120}C_m^3,0,\frac{1}{252}C_m^5,0,\frac{-1}{240}C_m^7,0,\frac{1}{132}C_m^9,...$