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回复 1# hongxian
凭感觉就是对的,例如正偶数边形是显然正确。

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回复 3# kuing
类似于复数的幅角,或者完全剩余系的理解,因为有个周期在里面。

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回复 4# 其妙
那就用复数来证明,不妨设是单位圆,那么每个顶点$P_k$表示的复数就是$1$的$n$次单位根(方程$x^n-1=0$的$n$个复数根),
当然,这要适当建立坐标系,使$P_1$表示的复数是$1$,
显然这$n$个单位根之和为$0$,(可用韦达定理证明)

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这句话是我以前在某群里讲过的,不过当时好像没被接受。
kuing 发表于 2013-9-20 16:11

如果用复数来解释旋转,先建立坐标系使$P_1$对应复数1,即$P_k$对应复数$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$,
其中$\varepsilon_k=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n},k=0,1,2,\cdots,n-1$,显然,$\varepsilon_1+\varepsilon_2+\cdots+\varepsilon_n=0$。
于是旋转$\dfrac{2k\pi}{n}$时,各点对应的复数就变为$\varepsilon_2,\varepsilon_3,\cdots,\varepsilon_n,\varepsilon_{1}$,此时,$\varepsilon_2+\varepsilon_3+\cdots+\varepsilon_n+\varepsilon_1=0$没有变化。

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回复  hongxian
凭感觉就是对的,例如正偶数边形是显然正确。
其妙 发表于 2013-9-20 16:11

那就分奇偶来证明吧(需要用到正$n$边形是轴对称图形的知识):以下设$R,r$分别表示外接圆和内切圆的半径。
(1)当$n$是偶数的时候,对每一个向量$\overrightarrow{OP_k}$,都有一个向量$\overrightarrow{OP_m}=-\overrightarrow{OP_k}$,
      其中$(m=\dfrac{n+2}{2})$,此时需要定义$\overrightarrow{OP_{k+n}}=\overrightarrow{OP_{k}},k=1,2,3,\cdots,n$。
故$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}=-\displaystyle \sum_{m=1}^{n} \overrightarrow{OP_m}=-\overrightarrow{S}$,于是$2\overrightarrow{S}=\overrightarrow{0}$,即$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}=\overrightarrow{0}$。
(2)当$n$是奇数的时候,对每两个相邻向量的和$\overrightarrow{OP_k}+\overrightarrow{OP_{k+1}}$,都有一个向量$-\lambda\overrightarrow{OP_m}=(\overrightarrow{OP_k}+\overrightarrow{OP_{k+1}})$,
其中$m=\dfrac{2k+n+1}{2}$,且$\lambda=\dfrac{2r}{R}>0$。同样需要定义$\overrightarrow{OP_{k+n}}=\overrightarrow{OP_{k}},k=1,2,3,\cdots,n$。
于是,$2\overrightarrow{S}=2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (\overrightarrow{OP_k}+\overrightarrow{OP_{k+1}})=-\lambda\displaystyle \sum_{m=1}^{n} \overrightarrow{OP_m}=-\lambda\overrightarrow{S}$,$(2+\lambda)\overrightarrow{S}=\overrightarrow{0}$,
因为$\lambda=\dfrac{2r}{R}>0$,所以$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}=\overrightarrow{0}$。

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设$P_1,P_2,P_3,…,P_n$是圆$O$内接正$n$边形的顶点,$P$是圆$O$上的任意点,
求证:(1)$\vv{PP_1}+\vv{PP_2}+...+\vv{PP_n}$为定向量;
(2)$\vv{PP_1}^2+\vv{PP_2}^2+...+\vv{PP_n}^2$为定值。
题出对没有?

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不知道楼主的标准答案是什么?

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再用两种方法证明一下楼主的题目(看一下有无疑问):
设$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}$,则$\overrightarrow{S}\cdot\vv{OP_1}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}\cdot\vv{OP_1}=R^2\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \cos\dfrac{2k\pi}{n}=0$,
            (注意:这里有$\cos(\pi+\theta)=\cos(\pi-\theta$),还用了三角函数的性质).
于是$\overrightarrow{S}\cdot\vv{OP_1}=0$,同理,$\overrightarrow{S}\cdot\vv{OP_2}=0$,……,$\overrightarrow{S}\cdot\vv{OP_n}=0$,
以上各式相加得,$\overrightarrow{S}\cdot(\vv{OP_1}+\vv{OP_2}+\cdots+\vv{OP_n})=\vv S\cdot\vv S=0$,
故$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}=\overrightarrow{0}$。
      另外,可不可以这样做:
$\overrightarrow{S}\cdot\vv{OP_1}=|\overrightarrow{S}|\cdot|\vv{OP_1}|\cos(\overrightarrow{S},\vv{OP_1})=0$,故$|\overrightarrow{S}|\cdot|\cos(\overrightarrow{S},\vv{OP_1})=0$,也可得到$|\overrightarrow{S}|=0$或$\cos(\overrightarrow{S},\vv{OP_1})=0$,
其中$\cos(\overrightarrow{S},\vv{OP_1})=0$,可得$\overrightarrow{S}\perp\vv{OP_1}$,同理,$\overrightarrow{S}\perp\vv{OP_2}$,
看来只有$\overrightarrow{S}=\overrightarrow{0}$才可能使上述两式子成立、

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回复 19# kuing
看不懂什么?哪里看不懂?

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回复 21# 爪机专用
(注意:这里用了$\cos(\pi+\theta)=\cos(\pi-\theta$),).
或者说用了$\cos \alpha=\cos(2\pi-\alpha$)的性质,
因为向量$\vv S=\vv {OP_1}+\vv {OP_2}+{\vv OP_3}+\cdots+\vv{ OP_n}$的每一个向量与$\vv{ OP_1}$的夹角依次为$0,\dfrac{2\pi}{n},\dfrac{4\pi}{n},\dfrac{6\pi}{n},\cdots,\dfrac{2k\pi}{n},\cdots,\dfrac{2(n-1)\pi}{n}$,
注意:向量夹角$\alpha$超过了$\pi$,我们用$2\pi-\alpha$替换,而余弦值不变。因为$\cos \alpha=\cos(2\pi-\alpha$)
不知解释的对不对?

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回复 23# hongxian
我的意思是,在计算数量积的时候向量的夹角$\alpha$可以超过$180^0$,因为$\cos\alpha=\cos(2\pi-\alpha)$
也就是说,在计算数量积的时候,向量的夹角是$\alpha$和$2\pi-\alpha$没有区别。
例如在计算数量积的时候,向量$\vv{OP_1}$和向量$\vv{OP_k}$的夹角是$\angle{P_1OP_k}=\dfrac{2(k-1)\pi}{n}$,它可能大于$\pi$,但是在计算数量积的时候,大于$\pi$也没关系,我们仍然把它当成广义的“夹角”,因为有公式$\cos\alpha=\cos(2\pi-\alpha)$作保证。
不知道我说明白没有?

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回复 25# hongxian
那个是显然的噻,可以用裂项法,同时乘以$\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{n}}{\sin\dfrac{\pi}{n}}$,用积化和差即可裂项求和,和为零。
或者复数方法也是十分容易的,那$n$个单位根的实部之和为零,也就是是余弦值之和为零

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回复 28# kuing
是的,循环论证了
不过旨在说明我的那个结果不是错误的,,而一时又未寻找到好的恰当的方法,

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回复 31# 爪机专用
心语默认了和向量是常数向量,所以不论如何转动、如何均匀分布都不改变和向量之值。
又根据和向量方向不定,从而判断和向量是零向量。
所以推理似乎出现了矛盾。
事实上有可能和向量是一个与n个点有关的向量(类似于n元函数),不一定是常数向量

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