爪机专用

第一步就不懂

其妙

回复 21# 爪机专用
（注意：这里用了$\cos(\pi+\theta)=\cos(\pi-\theta$)，）.
或者说用了$\cos \alpha=\cos(2\pi-\alpha$)的性质，
因为向量$\vv S=\vv {OP_1}+\vv {OP_2}+{\vv OP_3}+\cdots+\vv{ OP_n}$的每一个向量与$\vv{ OP_1}$的夹角依次为$0,\dfrac{2\pi}{n},\dfrac{4\pi}{n},\dfrac{6\pi}{n},\cdots,\dfrac{2k\pi}{n},\cdots,\dfrac{2(n-1)\pi}{n}$，
注意：向量夹角$\alpha$超过了$\pi$，我们用$2\pi-\alpha$替换，而余弦值不变。因为$\cos \alpha=\cos(2\pi-\alpha$)
不知解释的对不对？

hongxian

回复 22# 其妙

$\cos \alpha=\cos(2\pi-\alpha)$，只能说明$\cos \alpha+\cos(2\pi-\alpha)=2\cos\alpha$并不能说明其为$0$

其妙

回复 23# hongxian
我的意思是，在计算数量积的时候向量的夹角$\alpha$可以超过$180^0$，因为$\cos\alpha=\cos(2\pi-\alpha)$
也就是说，在计算数量积的时候，向量的夹角是$\alpha$和$2\pi-\alpha$没有区别。
例如在计算数量积的时候，向量$\vv{OP_1}$和向量$\vv{OP_k}$的夹角是$\angle{P_1OP_k}=\dfrac{2(k-1)\pi}{n}$，它可能大于$\pi$，但是在计算数量积的时候，大于$\pi$也没关系，我们仍然把它当成广义的“夹角”，因为有公式$\cos\alpha=\cos(2\pi-\alpha)$作保证。
不知道我说明白没有？

hongxian

回复 24# 其妙


    超不超过$180^\circ$没有关系，关键是要把$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \cos\dfrac{2k\pi}{n}=0$说清楚，感觉不是太容易。

其妙

回复 25# hongxian
那个是显然的噻，可以用裂项法，同时乘以$\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{n}}{\sin\dfrac{\pi}{n}}$，用积化和差即可裂项求和，和为零。
或者复数方法也是十分容易的，那$n$个单位根的实部之和为零，也就是是余弦值之和为零

hongxian

回复 26# 其妙


复数方程$x^n=1$的$n$个复数根之和为$0$，又一个不错的方法！

kuing

回复 27# hongxian

这个好像前面说了的……

其妙

回复 28# kuing
是的，循环论证了
不过旨在说明我的那个结果不是错误的，，而一时又未寻找到好的恰当的方法，

心语

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2013-9-21 23:30

爪机专用

回复 30# 心语

思想上其实还是差不多，用"均匀分布"得出方向不定, 本质上还是因为有对称性的缘故, 而且这样的说法可能还不那么容易被接受。
所以前面用旋转重合来表达这一点为的就是更具体明确一些。

其妙

回复 31# 爪机专用
心语默认了和向量是常数向量，所以不论如何转动、如何均匀分布都不改变和向量之值。
又根据和向量方向不定，从而判断和向量是零向量。
所以推理似乎出现了矛盾。
事实上有可能和向量是一个与n个点有关的向量（类似于n元函数），不一定是常数向量

心语

回复 32# 其妙


    根本就没转

007

其实，上面已经有很好的证法了，下面我说一下我的解法：（和某些人的类似）
设$$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}，$$
则有$$\overrightarrow{S}\cdot\vv{P_1P_2}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}\cdot(\vv{OP_2}-\vv{OP_1})=0,$$
即有$$\overrightarrow{S}\perp\vv{P_1P_2}；$$同理，$$\overrightarrow{S}\perp\vv{P_2P_3}。$$又有$$\vv{P_1P_2}与\vv{P_2P_3}不共线，$$
于是$$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}=\vv0.$$

007

楼上的解法，不涉及三角公式的化简，只涉及到数量积的定义式运算，以及平面向量的表示与几何图形间的关系。

郝酒

我也来给个解法吧，时间关系，稍后补细节
$\vec{OP_1}+\vec{OP_2} = 2\vec{OP_1^*}$（P1P2中点）
2 $\sum \vec{OPi} = 2 \sum \vec{OP_i^*}$
这样的话结果不停地等比例缩小，因为可以无限做下去，所以和只能是$\vec{0}$

kuing

回复 36# 郝酒

哈，这也能无穷递降，有点意思

goft

n个向量首尾相接构成正n多边形，证毕

kuing

回复 38# goft

那你还得说明为什么经过平移一定能首尾相接

goft

回复 39# kuing

相邻向量的夹角相同，且边长相同