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[几何] 请教一个向量问题,先谢谢了!

设$P_1,P_2,\cdots P_n$是单位圆$O$内接正$n$边形的顶点,求证:$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}

\overrightarrow{OP_i}=\overrightarrow{0}$
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回复 1# hongxian
凭感觉就是对的,例如正偶数边形是显然正确。

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将图形绕圆心旋转 $2\pi/n$ 度,与原图形重合,故和向量旋转后也应与未旋转前的原和向量相同,所以只能为 $\vv0$。

这句话是我以前在某群里讲过的,不过当时好像没被接受。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复 3# kuing
类似于复数的幅角,或者完全剩余系的理解,因为有个周期在里面。

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回复 4# 其妙
那就用复数来证明,不妨设是单位圆,那么每个顶点$P_k$表示的复数就是$1$的$n$次单位根(方程$x^n-1=0$的$n$个复数根),
当然,这要适当建立坐标系,使$P_1$表示的复数是$1$,
显然这$n$个单位根之和为$0$,(可用韦达定理证明)

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回复 3# kuing


    这个理解好,我个人还是能够接受的!

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这句话是我以前在某群里讲过的,不过当时好像没被接受。
kuing 发表于 2013-9-20 16:11

如果用复数来解释旋转,先建立坐标系使$P_1$对应复数1,即$P_k$对应复数$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$,
其中$\varepsilon_k=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n},k=0,1,2,\cdots,n-1$,显然,$\varepsilon_1+\varepsilon_2+\cdots+\varepsilon_n=0$。
于是旋转$\dfrac{2k\pi}{n}$时,各点对应的复数就变为$\varepsilon_2,\varepsilon_3,\cdots,\varepsilon_n,\varepsilon_{1}$,此时,$\varepsilon_2+\varepsilon_3+\cdots+\varepsilon_n+\varepsilon_1=0$没有变化。

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令ε1=1
因为ε2(ε1+ε2+⋯+εn)=ε2+ε3+⋯+εn+ε1,ε2不为0
所以ε1+ε2+ε3+⋯+εn=0

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一样意思
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
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回复 8# 心语    

进一步代数化了!

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回复  hongxian
凭感觉就是对的,例如正偶数边形是显然正确。
其妙 发表于 2013-9-20 16:11

那就分奇偶来证明吧(需要用到正$n$边形是轴对称图形的知识):以下设$R,r$分别表示外接圆和内切圆的半径。
(1)当$n$是偶数的时候,对每一个向量$\overrightarrow{OP_k}$,都有一个向量$\overrightarrow{OP_m}=-\overrightarrow{OP_k}$,
      其中$(m=\dfrac{n+2}{2})$,此时需要定义$\overrightarrow{OP_{k+n}}=\overrightarrow{OP_{k}},k=1,2,3,\cdots,n$。
故$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}=-\displaystyle \sum_{m=1}^{n} \overrightarrow{OP_m}=-\overrightarrow{S}$,于是$2\overrightarrow{S}=\overrightarrow{0}$,即$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}=\overrightarrow{0}$。
(2)当$n$是奇数的时候,对每两个相邻向量的和$\overrightarrow{OP_k}+\overrightarrow{OP_{k+1}}$,都有一个向量$-\lambda\overrightarrow{OP_m}=(\overrightarrow{OP_k}+\overrightarrow{OP_{k+1}})$,
其中$m=\dfrac{2k+n+1}{2}$,且$\lambda=\dfrac{2r}{R}>0$。同样需要定义$\overrightarrow{OP_{k+n}}=\overrightarrow{OP_{k}},k=1,2,3,\cdots,n$。
于是,$2\overrightarrow{S}=2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (\overrightarrow{OP_k}+\overrightarrow{OP_{k+1}})=-\lambda\displaystyle \sum_{m=1}^{n} \overrightarrow{OP_m}=-\lambda\overrightarrow{S}$,$(2+\lambda)\overrightarrow{S}=\overrightarrow{0}$,
因为$\lambda=\dfrac{2r}{R}>0$,所以$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}=\overrightarrow{0}$。

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设$P_1,P_2,P_3,…,P_n$是圆$O$内接正$n$边形的顶点,$P$是圆$O$上的任意点,
求证:(1)$\vv{PP_1}+\vv{PP_2}+...+\vv{PP_n}$为定向量;
(2)$\vv{PP_1}^2+\vv{PP_2}^2+...+\vv{PP_n}^2$为定值。
题出对没有?

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回复 12# 其妙

都写成 $\vv{PO}+\vv{OP_i}$ 就完了……
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不知道楼主的标准答案是什么?

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回复 14# 其妙


    自已想的一个题,没有什么标准答案!

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回复 12# 其妙


    用这个结论比较好证了!

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再用两种方法证明一下楼主的题目(看一下有无疑问):
设$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}$,则$\overrightarrow{S}\cdot\vv{OP_1}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}\cdot\vv{OP_1}=R^2\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \cos\dfrac{2k\pi}{n}=0$,
            (注意:这里有$\cos(\pi+\theta)=\cos(\pi-\theta$),还用了三角函数的性质).
于是$\overrightarrow{S}\cdot\vv{OP_1}=0$,同理,$\overrightarrow{S}\cdot\vv{OP_2}=0$,……,$\overrightarrow{S}\cdot\vv{OP_n}=0$,
以上各式相加得,$\overrightarrow{S}\cdot(\vv{OP_1}+\vv{OP_2}+\cdots+\vv{OP_n})=\vv S\cdot\vv S=0$,
故$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}=\overrightarrow{0}$。
      另外,可不可以这样做:
$\overrightarrow{S}\cdot\vv{OP_1}=|\overrightarrow{S}|\cdot|\vv{OP_1}|\cos(\overrightarrow{S},\vv{OP_1})=0$,故$|\overrightarrow{S}|\cdot|\cos(\overrightarrow{S},\vv{OP_1})=0$,也可得到$|\overrightarrow{S}|=0$或$\cos(\overrightarrow{S},\vv{OP_1})=0$,
其中$\cos(\overrightarrow{S},\vv{OP_1})=0$,可得$\overrightarrow{S}\perp\vv{OP_1}$,同理,$\overrightarrow{S}\perp\vv{OP_2}$,
看来只有$\overrightarrow{S}=\overrightarrow{0}$才可能使上述两式子成立、

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本帖最后由 hongxian 于 2013-9-21 05:12 编辑

回复 17# 其妙


    第一种比较严谨,好方法!
只是要想说明$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \cos\dfrac{2k\pi}{n}=0$难度不会比原题小吧!

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回复 18# hongxian

你看得懂第二种么?我看不懂
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复 19# kuing
看不懂什么?哪里看不懂?

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