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[函数] 大家都来写一些关于 $\ln x$ 的不等式

我先来写两个,今天用到的
\begin{align*}
\ln x&\leqslant x-1,\forall x>0,\\
\ln x&\geqslant\frac12\left(x-\frac1x\right),\forall 1\geqslant x>0 \text{($x>1$ 时反向)},
\end{align*}
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$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

和第二个有点类似的
\[\ln x\geqslant 1-\frac1x, \forall x>0,\]
但其实它和第一个等价

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为了不食言,也为了凑数,所以重复了上面的一些不等式,甚至是一些等价的不等式,但是在导数压轴题的最后一问数列的放缩的时候可能会用到的不等式:
请检查有无输入错误、推导错误等
1、$\ln(x+1)\leqslant x(x>-1)$

2、$e^x\geqslant x+1(x\in R)$

3、$\ln x\geqslant\dfrac{2(x-1)}{x+1}(x\geqslant1)$

4、$\ln x\leqslant\dfrac{2(x-1)}{x+1}(0<x\leqslant1)$

5、$\ln x\leqslant\dfrac{1}{2}(x-\dfrac1x)(x\geqslant1)$

6、$\ln x\geqslant\dfrac{1}{2}(x-\dfrac1x)(0<x\leqslant1)$

7、$\ln (1+x)\geqslant x-\dfrac{x^2}{2}(x\geqslant0)$

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thanks 大家继续啊

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本帖最后由 战巡 于 2014-3-26 01:51 编辑

回复 1# kuing

泰勒展开式就可以提供很多这方面的东西啊........

\[\ln(1+x)<\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k},  -1<x<0\]
\[\ln(1+x)\le \sum_{k=1}^{2n+1}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k},  x\ge 0\]
\[\ln(1+x)\ge \sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k},  x\ge 0\]

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回复 5# 战巡


分式的也整整看

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本帖最后由 realnumber 于 2014-3-26 08:20 编辑

$y=\ln{x}$在$x=x_0$处的切线,$y=\frac{1}{x_0}(x-x_0)+\ln{x_0}$,则有$\frac{1}{x_0}(x-x_0)+\ln{x_0}\ge \ln{x}$.

即为$\frac{x}{x_0}-1\ge \ln{x}-\ln{x_0}=\ln{\frac{x}{x_0}}$,也即$t-1\ge \ln t,其中t=\frac{x}{x_0}$.

也是由切线得到,$\ln{\ln{x}}\le\frac{x}{e}-1$.

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本帖最后由 isee 于 2014-3-26 10:49 编辑

变式:$\ln x < \dfrac {x-1}{\sqrt x},x>1$

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变式:$\ln x < \dfrac {x-1}{\sqrt x},x>1$
isee 发表于 2014-3-26 10:48

嗯,这个跟1#第二个等价。曾经在这里用过 http://kkkkuingggg.haotui.com/vi ... &page=1#pid3991

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回复 3# 其妙
这里有关于第5条的一个应用:“对数—几何平均不等式”(海盗)
http://kkkkuingggg.haotui.com/viewthread.php?tid=354

还有,关于第4条的一个应用(kuing):
http://kkkkuingggg.haotui.com/thread-314-1-1.html

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1.jpg
2014-4-24 14:33
我今天看到了一个更水的题

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回复 11# 等待hxh

你回错贴了

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这里还有些关于$\ln x$的不等式:http://blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101jp07.html(绵阳三诊)
\[\ln t\leqslant\dfrac{t-1}{\sqrt t}{\kern 4pt}(t\geqslant1)\]
若记$\sqrt t=u\geqslant1$,则$2\ln u\leqslant\dfrac{u^2-1}{u}=u-\dfrac{1}{u}$,即:\[\ln u\leqslant\dfrac12(u-\dfrac{1}{u}) {\kern 5pt}      (u\geqslant 1)\]

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不等式$\ln (1+x)\geqslant x-\dfrac{x^2}{2}(x\geqslant0)$的一个应用(2012天津):
http://blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101jp07.html(文末2012天津)
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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thinks, goon

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回复 15# kuing

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这里的证明:http://blog.sina.com.cn/s/blog_5618e6650101eu7f.html
blog图片博客.jpg
2014-4-29 23:34
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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$\ln(x)>0$

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回复 18# 链剑心
不是要解不等式,而是证明不等式!

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本帖最后由 realnumber 于 2014-5-4 09:35 编辑

模拟卷上一题目.
$f(x)=x\ln x$,0<a<b,求证:$a\ln a+b\ln b<b-a+(a+b)\ln{\frac{a+b}{2}}$.
证明:设$x=\frac{b-a}{2},y=\frac{b+a}{2},y>x>0$,
那么所证明不等式化为
\[(y-x)\ln{(y-x)}+(y+x)\ln{(y+x)}<2x+2y\ln{(y)}\]
利用$\ln(1+t)\le t$,可得$\ln{(y-x)}=\ln (y(1-\frac{x}{y}))<\ln y-\frac{x}{y},\ln{(y+x)}<\ln y+\frac{x}{y}$.以下略.

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