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[不等式] 转一个不等式2

苏州褚小光(39------18) 11:02:53
QQ图片20140310232831.jpg
2014-3-24 18:32

【LV5】马鞍山 孙世宝(45-----03) 2014-3-24 16:30:04
解:a^3+b^3>=1/2*(a+b)(a^2+b^2)
       =1/2*(a+b)c^2,
k>=1/2^(1/a+1/b)*sqrt(a^2+b^2)
   +(a^2+b^2)/ab>=sqrt2+2
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第一个解答看上去是为了配方而配方……
第二个解答可以写得更好点:
\begin{align*}
\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}&\geqslant \frac{\frac12(a+b)(a^2+b^2)+c^3}{abc} \\
& =\frac{\frac12(a+b)c^2+c(a^2+b^2)}{abc} \\
& =\frac12\left( \frac1a+\frac1b \right)\sqrt{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{ab} \\
& \geqslant \frac1{2\sqrt2}\left( \frac1a+\frac1b \right)(a+b)+\frac{a^2+b^2}{ab} \\
& \geqslant \sqrt2+2 \\
\end{align*}
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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还可以先必要性,猜得最大的$k$值:$k=2+\sqrt2$,然后再证明之。
取$a=b=1,c=\sqrt2$,则$k\leqslant2+\sqrt2$,
再证明$a^3+b^3+c^3\geqslant(2+\sqrt2)abc$即可。
如果感觉不好证明,那么三角换元是可行的吧。

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回复 3# 其妙
这次感觉还真的对了:http://wenku.baidu.com/link?url= ... F_OiWAxgWOneIfFoaJe

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