免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[数论] 某网友问的大概是合情推理题

★Miss ****★  1:19:56
QQ截图20140322015550.jpg
2014-3-22 01:55

求教第5题

题目:(江门市 2013 届高三 2 月高考摸拟)观察下列各式:$5^2-1=24$, $7^2-1=48$, $11^2-1=120$, $13^2-1=168$……,所得结果都是 $24$ 的倍数。依此类推:$\forall n\in\mbb N^+$,____是 $24$ 的倍数。(本题填写一个适当的关于的代数式即可)

话说,数论真的不熟,下面的玩法估计是笨方法……

解:设 $24p=f^2-1$,其中 $p$, $f\in\mbb N^+$。

显然 $f$ 必为奇数,设 $f=2h+1$,其中 $h\in\mbb N^+$,则 $6p=h(h+1)$,可见 $3$ 必能整除 $h$ 或 $h+1$,即 $h=3g$ 或 $h=3g-1$,其中 $g\in\mbb N^+$(下同)。

反之,若 $h=3g$,则 $2p=g(3g+1)$,因为 $g$ 和 $3g+1$ 必然一奇一偶,故 $p$ 有解;若 $h=3g-1$,则 $2p=(3g-1)g$,同样 $g$ 和 $3g-1$ 必然一奇一偶,故 $p$ 亦有解。

综上所述,满足 $6p=h(h+1)$ 的所有正整数 $h$ 为 $h=3g$ 或 $h=3g-1$,即满足 $24p=f^2-1$ 的所有正整数 $f$ 为 $6g+1$ 或 $6g-1$,因此答案为 $(6n+1)^2-1$ 或 $(6n-1)^2-1$。
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

我还说等差呢,原来是分段的等差,

TOP

$x^2 \equiv 1 (mod24)$

$x^2 \equiv 1 (mod8),x^2 \equiv 1 (mod3)$

$x \equiv 1,3,5,7 (mod8),x \equiv 1,2 (mod3)$

TOP

返回列表 回复 发帖