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[几何] 顶角为20度的等腰三角形常见结论——都不会?正常

这些玩意,中高考不考,竞赛考,也是翻新加花的。

茶余饭后八封八封还是有意思的,介绍性的,给大家,个个经典,非常的难。

所以,第一次见,不会,特别的正常;真的会解后,有无数后不同的解法。

以下解法,为个人随笔,如果与xx相同,纯是偶然,故绝对不是最简的解法,

只是,将这些结论串在一起,方便些。
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本帖最后由 isee 于 2014-3-26 13:53 编辑

这里,特别感谢几年前在人教论坛的 longnetpro,还有李伟源老师。



历史上最为经典(本题老论坛有类十种方法,如果你有兴趣的话……)



题1  $\triangle ABC$中,$AB=AC,\angle A=20^\circ$,$D,E$分别在$AB,AC$上,$\angle DCB=50^\circ,\angle EBC=60^\circ$。
求 $\angle BED$的度数。


20agl-01.png
2014-3-21 15:09



如图,提示:D,G,B,F共四圆后,得到D,F,C,E四点共圆,从而$\angle BED=30^\circ$。

这里,容易得到$\angle BDF=10^\circ$,从而$BF\perp BC$。

这样得一新题:如图,$\triangle BDC$中$BD=BC,\angle DBC=80^\circ,\angle CBF=60^\circ,\angle BCF=20^\circ$。
求证:$BF\perp BC$。

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本帖最后由 isee 于 2014-3-21 15:00 编辑

将50,60度各加10度,变成60,70度

题2  $\triangle ABC$中,$AB=AC,\angle A=20^\circ$,$D,E$分别在$AB,AC$上,$\angle DCB=60^\circ,\angle EBC=70^\circ$。
求 $\angle BED$的度数。


20agl-02.png
2014-3-21 14:30



保留上图的中50度,即图中的D'点,此时容易证明$\triangle AEB \cong \triangle BCG$,
从而$\triangle BEG$为顶角为80度等腰的三角形,
进一步,$\angle EGD'=20^\circ=\angle EAD'$,即E,A,G,D'四点共圆,同时也有:AE=DE'=BC。
于是$\angle DD'E=20^\circ=\angle DCE$,即E,D,D',C四点共圆。

需求最后结果,到这里后,说法较多,如ED'为角BED的平分线等,$\angle BED=20^\circ$。


新题:如图,$\triangle ABC$中,$AB=AC,\angle A=20^\circ$,$E$在$AC$上,$AE=BC$。
求 $\angle BEC$的度数。

当然,将E点改成D点,就更像考试题了。而事实上,这题被广大中学老师普遍赞的好题,李伟源老师将这个题先后给了十四余种方法。

如果你已经找到了本论坛楼上的提的帖子,估计,你已经看到了几种精彩对称的解法吧。



再看一个全新的变式


如图,记圆EDC与AE的交点为F,则$\angle ADF=10^\circ \Rightarrow DF \perp BC$!


20agl-03.png
2014-3-21 14:26

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本帖最后由 isee 于 2014-3-21 14:41 编辑

将楼上那个垂直,重新写出来就是:

1998年加拿大数学奥林匹克,第4题,总共5题

在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=40^\circ,\angle ABC=60^\circ$。
$D$和$E$分别是边$AC$和$AB$上的点,使得$\angle CBD=40^\circ,\angle BCE=70^\circ$。
$F$是直线$BD$和$CE$的交点。
证明直线$AF$和直线$BC$垂直。
20agl-031.png

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本帖最后由 isee 于 2014-3-21 14:51 编辑

回到3楼,在上述证明过程中已经解决,就是将仅将60度改为70度,50度不变:

题3 $\triangle ABC$中,$AB=AC,\angle A=20^\circ$,$D,E$分别在$AB,AC$上,$\angle DCB=50^\circ,\angle EBC=70^\circ$。
求 $\angle BED$的度数。

理论上说,相对而言,难度稍小些,有很多特殊的证明,这里略去。

OK,集合完毕,以后可以直接把链接帖过去了,哈哈~
20agl-032.png

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本帖最后由 isee 于 2014-3-22 21:32 编辑

欢迎补充,顶角20度的题

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题1的BCED四边中的,CEDF四点共圆,这一部分,
想起了一个十分经典的变式(其实结构依然相同),
主要是想了好久,老论坛 这道求角度的题人教初中区应该有链接,谁找找

如图,四边形$ABCD $的对角线交于$E$,
$\angle BEC=72^\circ$,$\angle ABD=18^\circ$,$\angle ACD=30^\circ$,且$BE=CE$,求$\angle ADB$ 的度数.

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这个求角度有趣,喝一声彩!
要画圆、要旋转,才能有解,真是好玩。

另外,上楼的图形,怎么没有贴好?

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或者可谓铺垫吧。

20度角的等腰三角形.pdf (116.35 KB)

相对容易

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太好玩了,这么多啊!

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回复 1# isee
太好玩了,这么多啊!
踏歌而来 发表于 2014-3-29 22:00

Langley问题&Machado的几何构型
F.A.Q.

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