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[数列] 一个数列题

一个数列题.jpg
2013-9-19 19:44
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抢张沙发水饺...
睡自己的觉,让别人说去...

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本帖最后由 睡神 于 2013-9-21 22:47 编辑

猜测:$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=5$
睡自己的觉,让别人说去!!!

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猜测:$\lim_{n\to\infty}a_n=5$
睡神 发表于 2013-9-21 16:27

那么$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=$??有极限吗?

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回复 4# 其妙
感觉$b_n$发散…
睡自己的觉,让别人说去!!!

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回复 4# 其妙

若 $a_n$ 有极限,则 $b_n$ 必然发散,从 $(a_{n+1}+1)/(a_n+1)=(b_n+1)/b_n$ 就能看出这一点。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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终于可以消掉$b_n$,剩下$a_{n+1}$和$a_n$的递推关系了,可惜是一个分式,分子是$a_n$的二次式,分母是$a_n$的一次式,使用不动点方法得出的根却是无理数,就没有信心往下运算了,运算量太大,我还常常算错,对我的运算不是很自信。

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回复 7# 其妙
咋么我消去了$b_n$后有$a_{n+2}$出现...求贴一赏...
睡自己的觉,让别人说去...

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回复 8# 零定义

我也是, 而且很复杂。。。

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$a_{n+1}+1=\dfrac{1+a_n+b_n+a_nb_n}{b_n}\riff \dfrac{1}{a_{n+1}+1}=\dfrac{b_n}{1+a_n+b_n+a_nb_n}$ ………… ①
$b_{n+1}+1=\dfrac{1+a_n+b_n+a_nb_n}{a_n}\riff \dfrac{1}{b_{n+1}+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n+b_n+a_nb_n}$ ………… ②
①-②得:$\dfrac{1}{a_{n+1}+1}-\dfrac{1}{b_{n+1}+1}=\dfrac{1}{a_n+1}-\dfrac{1}{b_n+1}$ 所以$\dfrac{1}{a_n+1}-\dfrac{1}{b_n+1}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$
又$a_{n+1}=\dfrac{1+a_n+a_nb_n}{b_n}\riff \dfrac{1}{b_n+1}=1-\dfrac{a_n+1}{a_{n+1}+1}$
所以$\dfrac{1}{a_n+1}+\dfrac{a_n+1}{a_{n+1}+1}=\dfrac{7}{6}$ 令$c_n=a_n+1$,则$c_{n+1}=\dfrac{6c_n^2}{7c_n-6}$
由$a_{n+1}=\dfrac{1+a_n+a_nb_n}{b_n}=\dfrac{1+a_n}{b_n}+a_n>a_n$,有$c_{n+1}>c_n$
所以$c_{n+1}=\dfrac{6c_n^2}{7c_n-6}>c_n$,解得:$c_n<6$ 暴力计算前八项可知,$c_8>5$
所以当$n\ge 8$时,有$5<c_n<6$ 即当$n\ge 8$时,有$4<a_n<5$ 所以$[a_{2013}]=4$
睡自己的觉,让别人说去!!!

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回复 10# 睡神
注:关键步骤由其妙老师指导所得!
睡自己的觉,让别人说去!!!

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回复 11# 睡神

次奥!这个倒数作差再裂项太牛笔了!
后面不用看了,就前三步,足够欣赏了
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 12# kuing
关键三步都是其妙提示的…所以说这根本不是我解的…
睡自己的觉,让别人说去!!!

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回复 10# 睡神
居然求的是取整符号啊?
我还去求通项了,还有那个数列$\{c_n\}$的不动点法,得到的不动点是$0或6$,等价于数列$\{a_n\}$的不动点$-1$和$5$,我那时怎么算出来是无理数,计算不过关啊!
原来和单调有界数列有极限是有关的,所以用了取整函数。。。。

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回复 14# 其妙
额…是其妙老师你对这种菜题不放在眼里而已…
睡自己的觉,让别人说去!!!

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又一道类似题:
see
http://tieba.baidu.com/p/2593906937
大家练手
模仿睡神

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回复 16# Tesla35
数列搜神!
把那边的此题解答复制过来,$\{\dfrac1{a_n+1}\}$的递推是一个二次非线性递推 没有解析的通项公式表达
blog图片博客.jpg
2013-9-25 22:55

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回复 17# 其妙

之前他到处mark题就是这样用的啊……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 18# kuing
哦,看来我也要mark了

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回复 17# 其妙

咦?你怎么粘的这个帖子。
应该是下面的图片啊:
QQ截图20130925225427.jpg
2013-9-25 22:57

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