免費論壇

繁體 | 簡體

Sclub交友聊天~加入聊天室當版主

(檢舉)

分享

悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » P为正五边形ABCDE外接圆弧EA上一点，求证PA+PC+PE=PB+PD

返回列表发帖

1^# 跳转到 » 正序看帖

字体大小: tT

发表于 2014-3-19 13:22 | 只看该作者

[几何] P为正五边形ABCDE外接圆弧EA上一点，求证PA+PC+PE=PB+PD

本帖最后由 isee 于 2014-3-21 17:07 编辑

由正边形外接圆一点，作过顶点的五条线段之间的数量关系

字母不防按逆时针排列：图其实可以省略

题：$P$点为正五边形$ABCDE$外接圆弧EA上一点，求证：$PA+PC+PE=PB+PD$。

snap.gif (7.67 KB)

分享到: QQ空间 腾讯微博 腾讯朋友

40^#

发表于 2014-3-21 12:23 | 只看该作者

几何画板真是对付复杂图形的利器，几何画板直观图形，省了不少事儿

最后，感谢大家积极响应，严重感谢各位！

39^#

发表于 2014-3-21 12:13 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2014-3-21 12:19 编辑

特别的，如果正五边形和原正边形全等如何呢？
（即所作五边形不落在延长线上呢？）
即有轴对称了：

将五边形沿AB（理论上任何边均可）对称，得对称图形。
延长PA交对称圆于P'，直线P'B交圆于p''，交PC于F。

然后就同中心对称了。而且基本就是一样地

回头看看，以方法全部统一，构造正边形（常说构造正三角形，正方形的……）。

互此，止步了……

38^#

发表于 2014-3-21 11:28 | 只看该作者

刹不住车了~

37^#

发表于 2014-3-21 11:25 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2014-3-21 11:27 编辑

回复 35# isee

岂能厚此薄彼呢？向外转一样可以的。正五边形，总之需要三次旋转。

将加法做到底：$a_2+a_4=a_5+(a_1+a_3)$

snap-53.png (19.68 KB)

36^#

发表于 2014-3-20 22:25 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2014-3-20 22:27 编辑

果然最长的边时最快速。

snap-52.png (56.17 KB)

35^#

发表于 2014-3-20 21:50 | 只看该作者

回复 5# kuing

正如前面所说，正五形的的顶点应该都是等同地位的，
故，将kuing的辅助线，适当修改，
改成－法（线段差）为 + 法（线段和），
个人更习惯些。

如图：先将三角形BPA绕点B顺时针旋转108度得到三角形BCP'，
由B，C，P，A四点共圆，知P'在PC延长线上，构造正五边形PBP'P''P'''，如图所示。

则 $PP'=PP'' \Rightarrow a_1+a_3=a_4+(a_2-a_5)\Rightarrow PA+PC+PE=PB+PD$。

这辅助线的真赞，kuing，这就是属于你的了。

snap-5.png (28.3 KB)

34^#

发表于 2014-3-20 15:36 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2014-3-20 15:39 编辑

回复 25# kuing

中心对称亦可以搞定7边形，虽然图形不那么好看，
核心是，中间大小两三角形都是等腰的，同色两三角形全等。
目标式为：$a_3+a_5-(a_2+a_4)=a_6-a_1-a_7$，

这里，$a_1,a_7$化到$a_6$上，用中心对称是容易看出来的。需要改进的是，最后一个同色三角形全等，太不“和谐”了。

snap-7.png (72.32 KB)

33^#

发表于 2014-3-20 14:33 | 只看该作者

25.26楼的图太漂亮了，你真查证过不是第一个？
感觉上和一些数学大会会标一样了.
realnumber 发表于 2014-3-20 14:18

没查证过，不过这并不是很难想的东西，如无意外下我们以上的，尽管都是自己想，但都将是重新发现。

32^#

发表于 2014-3-20 14:18 | 只看该作者

25.26楼的图太漂亮了，你真查证过不是第一个？
感觉上和一些数学大会会标一样了.

31^#

发表于 2014-3-20 13:53 | 只看该作者

回复 30# kuing
真能看到了！
我还以为用的是复数呢？

30^#

发表于 2014-3-20 13:36 | 只看该作者

isee在12楼的解答看不见，isee总是能找些经典的几何题！
其妙发表于 2014-3-20 13:15

进 archiver 版或许能看到 http://kuing.orzweb.net/archiver/?tid-2494.html

29^#

发表于 2014-3-20 13:33 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2014-3-20 13:42 编辑

回复 28# 其妙

换浏览器，或者开启IE视图兼容

有空你来写下三角函数的一般情况下的过程？其实主要是这种题比较平易近人，说难吧，想一总能解决，说简单吧，一时半会不会有结果，总之，平易近人

28^#

发表于 2014-3-20 13:15 | 只看该作者

isee在12楼的解答看不见，isee总是能找些经典的几何题！

27^#

发表于 2014-3-20 08:15 | 只看该作者

无标题.png

解出每条对角线的比例后，用一次托勒密定理就有一个关系

$a_1^2=2r^2(1-cos\frac{2π}{n})$

$a_2^2=2r^2(1-cos\frac{4π}{n})$

$\frac{a2}{a1}=\frac{sin\frac{2π}{n}}{sin\frac{π}{n}}$

现充已死，エロ当立。
维基用户页：https://zh.wikipedia.org/wiki/User:Tttfffkkk/
Notable algebra methods：https://artofproblemsolving.com/community/c728438
《方幂和及其推广和式》数学学习与研究2016.

26^#

发表于 2014-3-20 00:33 | 只看该作者

QQ截图20140320003239.gif

可惜，估计这也不是我第一个想到的，想在平几何里玩出新东西，谈何容易

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

25^#

发表于 2014-3-20 00:23 | 只看该作者

正 7 边形，一样可证
QQ截图20140320002254.gif

QQ截图20140320002254.gif

这样，不难发现，正 2n-1 边形也是同理的。
因为由于总是对称地全等，在较小的正 2n-1 边形外的线段总是互相抵消掉，剩下里面的又对称性地相等，所以总是成立的。

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

24^#

发表于 2014-3-20 00:11 | 只看该作者

回复 22# kuing

睡了先，前面提到的（沿边）轴对称的方法与中心对称大同小异，不想发了，知道构造正五边形后……

23^#

发表于 2014-3-20 00:11 | 只看该作者

回复 21# isee
碰到这类证线段和相等的问题，我喜欢把它们分别变成两线段后再证线段，所以说硬构。

22^#

发表于 2014-3-19 23:35 | 只看该作者

刚开始只看kuing的几何图以为是旋转构造，原来是构五边形！如三角形造三角形如出一辙， ...
isee 发表于 2014-3-19 23:31

所以我在7#也说了受三角形时的启发

返回列表回复发帖